Question

9．對任意函數(shù)f（x），x∈D，可按如圖所示，構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：
①輸入數(shù)據(jù)x₀∈D，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出x₁=f（x₀）；
②若x₁∉D，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x₁∈D，將x₁反饋輸入端，再輸出x₂=f（x₁），并以此規(guī)律進(jìn)行下去，現(xiàn)定義$f（x）=\frac{4x-2}{x+1}$．
（1）若輸入${x_0}=\frac{49}{65}$，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{x_n}，寫出數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)；
（2）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）=$\frac{4x-2}{x+1}$，x0=$\frac{49}{65}$及工作原理，注意函數(shù)的定義域，直接可求得數(shù)列{x_n}的只有三項(xiàng)；
（2）要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，則有f（x）=$\frac{4x-2}{x+1}$=x，從而求出相應(yīng)的初始數(shù)據(jù)x₀的值；

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），
∴數(shù)列{x_n}只有3項(xiàng)，x_x=$\frac{11}{19}$，x₂=$\frac{1}{5}$，x₃=-1．
（2）令f（x）=$\frac{4x-2}{x+1}$=x，即x²-3x+2=0，
解得：x=2，或x=1，
故當(dāng)x₀=2或x₀=1時，x_n+1=$\frac{4{x}_{n}-2}{{x}_{n}+1}$=x_n，
所以，輸入的初始數(shù)據(jù)x₀=1時，得到常數(shù)列x_n=1；
x₀=2時，得到常數(shù)列x_n=2．

點(diǎn)評 本題是數(shù)列與算法的簡單結(jié)合，應(yīng)搞清算法原理，將問題等價轉(zhuǎn)化，有一定的難度．