Question

7．從地球發(fā)射火箭到火星去進行探測，發(fā)射后火箭以太陽為焦點做橢圓軌道運動，為了節(jié)省能量，火箭離開地球的速度方向與地球的繞日公轉(zhuǎn)速度方向一致，并且選擇適當?shù)陌l(fā)射時機，使火箭橢圓軌道的遠日點為火星，軌道的近日點為地球．假定地球和火星均繞日做勻速圓周運動，其軌道半徑分別為r和R，忽略其他行星對火箭的作用．
（1）根據(jù)機械能守恒和開普勒第二定律，試求火箭發(fā)射的對地速度大�。�（用其他方法得出正確答案同樣給分）
（2）火箭到達火星需要多長時間？

Answer 1

分析 （1）設(shè)太陽、火箭質(zhì)量分別為M、m，火箭在近日點和遠日點的速度分別為v₁，v₂．由機械能守恒和開普勒定律列式求解對日速度，然后求對地速度；
（2）根據(jù)開普勒第三定律求解運動周期，再根據(jù)t=$\frac{T}{2}$知時間．

解答 解：（1）設(shè)太陽、火箭質(zhì)量分別為M、m，火箭在近日點和遠日點的速度分別為v₁，v₂．
由機械能守恒和開普勒定律
知$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{GMm}{r}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{GMm}{R}$
rv₁=Rv₂，
由此二式得v₁=$\sqrt{\frac{2GMR}{r（r+R）}}$，
這是火箭在離開地球時對日速度，而v_地=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
則火箭相對地球的速度v=v₁-v_地=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$（$\sqrt{\frac{2R}{R+r}}$-1）
（2）而到達火星的時間是火箭運動半個周期T，
T=$\sqrt{{（\frac{r+R}{2r}）}^{3}}$T₀，
故t=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（\frac{r+R}{2r}）}^{3}}$T₀，
答：（1）火箭發(fā)射的對地速度大小是$\sqrt{\frac{GM}{r}}$（$\sqrt{\frac{2R}{R+r}}$-1）．
（2）火箭到達火星需要$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（\frac{r+R}{2r}）}^{3}}$T₀ ．

點評 此題考查機械能守恒和開普勒定律，選取近日點和遠日點為初末狀態(tài)，求出的速度為對日速度，注意根據(jù)問題選取參考系，會相對速度的求解．