Question

4．如圖所示，半徑為R，內(nèi)徑很小的光滑半圓管豎直放置．兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球a、b以不同的速度進(jìn)入管內(nèi)，a通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)，對(duì)管上部的壓力為3mg，b通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)，對(duì)管壁下部的壓力為0.75mg．求：
（1）a、b兩球落地點(diǎn)間的距離；
（2）a、b兩球通過(guò)光滑半圓管最低點(diǎn)B時(shí)圓管對(duì)a、b兩球的彈力如何？
（3）a、b兩球通過(guò)光滑半圓管水平半徑右端點(diǎn)C時(shí)圓管對(duì)a、b兩球的彈力如何？

Answer 1

分析 （1）小球在A點(diǎn)所受合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，據(jù)此求得兩小球離開(kāi)A點(diǎn)時(shí)的速度大小，再根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)求兩球落地點(diǎn)間的水平距離；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求得兩小球在B點(diǎn)時(shí)的速度大小，再根據(jù)合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得圓管對(duì)兩球小球的彈力大��；
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求得小球在C時(shí)的速度大小，根據(jù)合外力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得圓管對(duì)兩小球的彈力大�。�

解答 解：（1）由題意知a小球在A點(diǎn)受到圓管上部對(duì)其向下的壓力3mg，根據(jù)合外力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有
mg+3mg=$m\frac{{v}_{a}^{2}}{R}$
可得v_a=$2\sqrt{gR}$
對(duì)b小球受下管向上的支持力0.75mg，據(jù)合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$mg-0.75mg=m\frac{{v}_^{2}}{R}$
可得v_b=$\frac{1}{2}\sqrt{gR}$
兩小球離開(kāi)A均做平拋運(yùn)動(dòng)，故由平拋知識(shí)可知兩小球落地時(shí)的距離
$△x=（{v}_{a}-{v}_）\sqrt{\frac{2•2R}{g}}$=3R
（2）對(duì)a球根據(jù)動(dòng)能定理有：
$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{a}^{′}}^{2}$    ①
在B點(diǎn)滿(mǎn)足：${N}_{a}-mg=m\frac{{{v}_{a}^{′}}^{2}}{R}$     ②
由①②兩式解得N_a=9mg
對(duì)b球根據(jù)動(dòng)能定理有：
$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_^{′}}^{2}$      ③
${N}_-mg=m\frac{{{v}_^{′}}^{2}}{R}$          ④
由③④兩式解得N_b=$\frac{21}{4}mg$
（3）小球a由C到A根據(jù)動(dòng)能定理有：
$-mgR=\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{a}^{″}}^{2}$      ⑤
水平方向的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
${N}_{a}′=m\frac{{{v}_{a}^{″}}^{2}}{R}$      ⑥
由⑤⑥兩式解得${N}_{a}^{″}$=6mg
小球b由C到A根據(jù)動(dòng)能定理有：
$-mgR=\frac{1}{2}m{v}_^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_^{″}}^{2}$        ⑦
水平方向的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
${N}_″=m\frac{{{v}_^{″}}^{2}}{R}$         ⑧
由⑦⑧兩式解得${N}_^{″}$=$\frac{9mg}{4}$
答：（1）a、b兩球落地點(diǎn)間的距離為3R；
（2）a、b兩球通過(guò)光滑半圓管最低點(diǎn)B時(shí)圓管對(duì)a、b兩球的彈力分別為9mg，$\frac{21}{4}mg$；
（3）a、b兩球通過(guò)光滑半圓管水平半徑右端點(diǎn)C時(shí)圓管對(duì)a、b兩球的彈力分別為：6mg，$\frac{9mg}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 小球在指向圓心方向的合外力提供小球圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，能根據(jù)動(dòng)能定理求得小球在不同位置的速度是解決本題的關(guān)鍵．