Question

試求赤道上空的同步衛(wèi)星的軌道半徑、離地面的高度、線速度各是多少?已知地球質(zhì)量M=6×10²⁴ kg，地球赤道半徑R=6.4×10⁶ m，地球自轉(zhuǎn)周期T=24 h，萬有引力常量G=6.67×10^-11 N·m²/kg².

Answer 1

解析：所有同步衛(wèi)星高度都一樣，線速度大小也一樣，因為只有在這個高度，衛(wèi)星和地球之間的引力才恰好提供了衛(wèi)星做圓周運動所需的向心力.低于這個高度，衛(wèi)星因速度加快，周期變短，不再與地球同步;高于這個高度，衛(wèi)星將速度變慢，周期變長，也不再與地球同步.另外，由于衛(wèi)星軌道平面必須通過地球球心，所以同步衛(wèi)星只能在赤道平面上.綜上所述，所有同步衛(wèi)星只能在赤道平面上的同一高度，以相同的線速度與地球同步運轉(zhuǎn).

設同步衛(wèi)星的軌道半徑為r，離地面的高度為h，線速度為v，根據(jù)萬有引力提供同步衛(wèi)星所需的向心力可得

G=mr

所以r=，代入G、M、T的值，可得r=4.23×10⁷ m

同步衛(wèi)星離地面的高度為

h=r-R=（4.23×10⁷-6.4×10⁶） m=3.59×10⁷ m

（通常說赤道上空的同步衛(wèi)星離地面約36 000 km的根據(jù)就在這里，這個數(shù)值應作為常識記�。�

線速度v= =3.07×10³ m/s，可記住線速度約為3 000 m/s

本題也可用重力提供向心力來解答，即

mg′=mr

式中g′為同步衛(wèi)星所在處的重力加速度，而它跟地面附近的重力加速度有以下關系：

g′=（）²g

消去g′后可得（）²g=r

即r=

跟上面的計算結果r=相比較，實質(zhì)上是利用g=進行了代換.

由此也可解得r=4.23×10⁷ m.