Question

16．在直角坐標(biāo)系xoy中，有一半徑為R的圓形勻強磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強度的大小為B、方向垂直于xoy平面且指向紙面外，該區(qū)域的圓心坐標(biāo)為（0，R），P₁，P₂分別為加速電場的正負(fù)兩極板，P₁中央有一小孔，兩極板都平行于x軸且正對放置，如圖所示，一個質(zhì)量為m、電荷量為q的負(fù)離子，由靜止經(jīng)電場加速后從點（$\frac{R}{2}$，0）沿y軸正方向射入第1象限，不計重力的影響．
（1）若離子射入磁場的入射點與射出磁場的出射點在該圓形磁場的同一直徑上，求離子在該磁場區(qū)域經(jīng)歷的時間t₁和加速電場的加速電壓U₁．
（2）若離子在磁場區(qū)域經(jīng)歷的時間t₂=$\frac{πm}{2Bq}$，求加速電場的加速電壓U₂．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意作出粒子的運動軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑和轉(zhuǎn)過的圓心角，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求得速度，再根據(jù)動能定理即可求確定加速電壓U₁，根據(jù)圓心角算出粒子在磁場中運動時間；
（2）離子在磁場區(qū)域經(jīng)歷的時間t₂=$\frac{πm}{2Bq}$=$\frac{1}{4}T$，作出粒子的運動軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，根據(jù)向心力公式以及動能定理即可求解加速電壓．

解答 解：（1）根據(jù)題意作出粒子的運動軌跡，如圖所示，
其中O點為圓心，根據(jù)幾何關(guān)系可知，AC=R，A到y(tǒng)軸的距離為$\frac{R}{2}$，則∠CAO=60°，
所以θ=30°，則圓周運動的半徑r=2R，
根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：
$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\frac{2BqR}{m}$，
離子在加速電場的加速的過程，根據(jù)動能定理得：
${U}_{1}q=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：${U}_{1}=\frac{2{B}^{2}q{R}^{2}}{m}$
圓心角為60°，
離子在勻強磁場中運動的周期T=$\frac{2πm}{Bq}$，則離子在該磁場區(qū)域經(jīng)歷的時間t₁=$\frac{60°}{360°}•\frac{2πm}{Bq}=\frac{πm}{3Bq}$，
（2）離子在磁場區(qū)域經(jīng)歷的時間t₂=$\frac{πm}{2Bq}$=$\frac{1}{4}T$，
所以離子在磁場中運動了$\frac{1}{4}$個圓，軌跡如圖所示：

根據(jù)幾何關(guān)系可知，半徑r$′=\frac{\sqrt{3}+1}{2}R$，
則根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：
$Bqv′=m\frac{{v′}^{2}}{r′}$
解得：v′=$\frac{Bq（\sqrt{3}+1）R}{2m}$，
離子在加速電場的加速的過程，根據(jù)動能定理得：
${U}_{2}q=\frac{1}{2}m{v′}^{2}$
解得：${U}_{2}=\frac{{B}^{2}q{（\sqrt{3}+1）^{2}R}^{2}}{8m}$
答：（1）離子在該磁場區(qū)域經(jīng)歷的時間t₁為$\frac{πm}{3Bq}$，加速電場的加速電壓U₁為$\frac{2{B}^{2}q{R}^{2}}{m}$；
（2）若離子在磁場區(qū)域經(jīng)歷的時間t₂=$\frac{πm}{2Bq}$，則加速電場的加速電壓U₂為$\frac{{B}^{2}q{{（\sqrt{3}+1）}^{2}R}^{2}}{8m}$．

點評 考查了帶電離子在磁場中的運動，解題的關(guān)鍵是會根據(jù)題意畫出粒子的運動軌跡，會定圓心、找半徑，結(jié)合圓周運動求相關(guān)量，在電場中粒子做勻加速運動，能結(jié)合動能定理求解，難度較大．