Question

如圖所示，懸掛在豎直平面內(nèi)O點(diǎn)的一個(gè)木質(zhì)小球（可以看成質(zhì)點(diǎn)），懸線長(zhǎng)為L(zhǎng)，小球的質(zhì)量為M．一顆質(zhì)量為m的子彈，以水平速度v₀射入木球且留在其中，隨即木球就在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)起來(lái)．
（1）若v₀大小已知，求在子彈擊中木球的過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能；
（2）若v₀大小未知，木球在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中懸線始終不發(fā)生松馳，子彈速度v₀應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）子彈在射擊木球的過(guò)程中，子彈和木球在水平方向上動(dòng)量守恒，機(jī)械能的損失量等于子彈的初動(dòng)能減去子彈和木塊的末動(dòng)能；
（2）要使木球在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中懸線始終不發(fā)生松馳，木球運(yùn)動(dòng)有兩種情況：一是木球運(yùn)動(dòng)速度較大時(shí)將做完整圓周運(yùn)動(dòng)，二是木球速度較小時(shí)做不完整圓周運(yùn)動(dòng)（即擺動(dòng)）．根據(jù)牛頓第二定律求出在最高點(diǎn)的最小速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出子彈與木球在最低點(diǎn)的最小速度，最后通過(guò)動(dòng)量守恒定律求出子彈做完整圓周運(yùn)動(dòng)的最小初速度．
由機(jī)械能守恒定律求得子彈做不完整圓周運(yùn)動(dòng)最大速度．

解答：解：（1）子彈在射擊木球的過(guò)程中，子彈和木球在水平方向上動(dòng)量守恒，設(shè)二者最終在水平方向的速度為v，
由動(dòng)量守恒定律得：mv₀=（m+M）v …①
損失的機(jī)械能為△E，則有：△E=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

(m+M)

v

2

…②
由①、②得：△E=

Mmv02

2(m+M)

…③
（2）要使木球在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中懸線始終不發(fā)生松馳，木球運(yùn)動(dòng)有兩種情況：
一是木球運(yùn)動(dòng)速度較大時(shí)將做完整圓周運(yùn)動(dòng)，二是木球速度較小時(shí)做不完整圓周運(yùn)動(dòng)（即擺動(dòng)）．
在做完整圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)：小球從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)過(guò)程中機(jī)械能守恒．設(shè)小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度為v′，
有：

1

2

(m+M)v2=(m+M)g?2L+

1

2

(m+M)v/2…④
若要使繩不發(fā)生松馳，則須  v/≥

gL

…⑤
由①、④、⑤得v0≥

5gL

(

M+m

m

)…⑥
若做不完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小球最高只能擺至與懸掛點(diǎn)等高的水平位置，小球從最低點(diǎn)擺至速度等于零的位置，
由機(jī)械能守恒定律得：

1

2

(m+M)v2≤(m+M)gL…⑦
由①、⑦得：v0≤

2gL

(

M+m

m

)…⑧
答：（1）若v₀大小已知，在子彈擊中木球的過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能是

Mmv02

2(m+M)

；
（2）若v₀大小未知，木球在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中懸線始終不發(fā)生松馳，做完整圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)v0≥

5gL

(

M+m

m

)，
做不完整的圓周運(yùn)動(dòng)v0≤

2gL

(

M+m

m

)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律以及牛頓第二定律，關(guān)鍵理清整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，分過(guò)程求解．