Question

11．如圖甲所示，豎直放置的金屬板A、B中間開有小孔，小孔的連線沿水平放置的金屬板C、D的中軸線．粒子源P可以連續(xù)地產(chǎn)生質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，粒子以極小的初速度飄人A、B板間，其初速度可忽略不計(jì)．粒子在A、B板間被加速后，再進(jìn)人C、D板間偏轉(zhuǎn)，均能從此電場(chǎng)中射出，粒子射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)速度方向的反向延長(zhǎng)線通過(guò)O點(diǎn)．已知A、B間的電壓U_AB=U₀；C、D板的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，間距為$\frac{\sqrt{3}}{3}$L．C、D之間的電壓u_CD隨時(shí)間t變化的圖象如圖乙所示．在C、D右側(cè)有一個(gè)垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，分布在圖示的半環(huán)形帶中，該環(huán)形帶的內(nèi)、外圓心與金屬板C、D間的中心O點(diǎn)重合．內(nèi)圓半徑為學(xué)$\frac{2\sqrt{3}}{3}$L，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{24m{U}_{0}}{q}}$．已知偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)只存在于C、D兩板之間，粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間遠(yuǎn)小于電場(chǎng)變化的周期（電場(chǎng)變化的周期丁未知），粒子重力不計(jì)．

（1）試求粒子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，在垂直于板面方向偏移的最大距離；
（2）若所有粒子均不能從環(huán)形帶磁場(chǎng)的右側(cè)穿出，試求環(huán)形帶磁場(chǎng)的最小寬度．

Answer 1

分析 （1）對(duì)粒子加速過(guò)程由動(dòng)能定理求得進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的速度．要在垂直于板面方向偏移的距離最大，那么粒子的加速度也要最大，即所加的電壓最大．根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解．
（2）進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的粒子剛好不能穿出磁場(chǎng)時(shí)的環(huán)帶寬度為磁場(chǎng)的最小寬度，根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，畫出粒子剛好不能穿出磁場(chǎng)的軌跡圖，根據(jù)半徑公式結(jié)合幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）設(shè)粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)瞬間的速度為v，
對(duì)粒子加速過(guò)程由動(dòng)能定理得qU_AB=$\frac{1}{2}$m${v}_{\;}^{2}$
進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后，加速度a=$\frac{{qU}_{cd}}{md}$
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則有L=v₀t
只有t=$\frac{T}{2}$時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的粒子，垂直于極板方向偏移的距離最大
y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{{qU}_{cd}}{md}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$L
（2）t=$\frac{T}{2}$時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的粒子剛好不能穿出磁場(chǎng)時(shí)的環(huán)帶寬度為磁場(chǎng)的最小寬度．
設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v′，
對(duì)粒子的偏轉(zhuǎn)過(guò)程有 $\frac{1}{3}qU$=$\frac{1}{2}{mv′}^{2}$-$\frac{1}{2}{mv}^{2}$
解得：v′=$\sqrt{\frac{8{qU}_{0}}{3m}}$
在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{L}{3}$
如圖所示，設(shè)環(huán)帶外圓半徑為R₂，
（R₂-R₁）²=${R}_{1}^{2}$+R²
解得：R₂=L
所求d=R₂-R₁=（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）L
答：（1）粒子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，在垂直于板面方向偏移的最大距離是$\frac{\sqrt{3}}{6}$L；
（2）環(huán)形帶磁場(chǎng)的最小寬度是（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）L．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了帶電粒子分別在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，當(dāng)兩極間加上電壓時(shí)，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解問(wèn)題．粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．