Question

（25分）如圖所示，一根質(zhì)量可以忽略的細(xì)桿，長(zhǎng)為2，兩端和中心處分別固連著質(zhì)量為的小球B、D和C，開始時(shí)靜止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一質(zhì)量為的小球A，以一給定速度沿垂直于桿DB的方間與右端小球B作彈性碰撞。求剛碰后小球A,B,C,D的速度，并詳細(xì)討論以后可能發(fā)生的運(yùn)動(dòng)情況。

Answer 1

解析：

1.求剛碰撞后小球A、B、C、D的速度

設(shè)剛碰撞后，小球A、B、C、D的速度分別為、、、，并設(shè)它們的方向都與的方向相同．由于小球C位于由B、C、D三球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心處，所以小球C的速度也就是這系統(tǒng)的質(zhì)心的速度．因碰撞前后四小球組成的質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量守恒，故有

    （1）

碰撞前后質(zhì)點(diǎn)組的角動(dòng)量守恒，有

                 （2）

這里角動(dòng)量的參考點(diǎn)設(shè)在與B球重合的空間固定點(diǎn)，且規(guī)定順時(shí)針?lè)较虻慕莿?dòng)量為正．因?yàn)槭菑椥耘鲎�，碰撞前后質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能相等，有

    （3）

因?yàn)闂U是剛性桿，小球B和D相對(duì)于小球C的速度大小必相等，方向應(yīng)相反，所以有

                             （4）

解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得兩個(gè)解

      =0                              （5）

和

        （6）

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090731/20090731104302003.gif' width=19>也是剛碰撞后由B、C、D三小球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心的速度，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律，碰撞后這系統(tǒng)的質(zhì)心不可能靜止不動(dòng)，故（5）式不合理，應(yīng)舍去．取（6）式時(shí)可解得剛碰撞后A、B、D三球的速度

        （7）

        （8）

    （9）

2．討論碰撞后各小球的運(yùn)動(dòng)

碰撞后，由于B、C、D三小球組成的系統(tǒng)不受外力作用，其質(zhì)心的速度不變，故小球C將以（6）式的速度即沿方向作勻速運(yùn)動(dòng)．由（4）、（8）、（9）式可知，碰撞后，B、D兩小球?qū)⒗@小球C作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度的大小為

        （10）

方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颍�由�?）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向與M、m的大小有關(guān)，下面就M、m取值不同而導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)情形的不同進(jìn)行討論：

（i），即碰撞后小球A停住，由（7）式可知發(fā)生這種運(yùn)動(dòng)的條件是

   

即        （11）

（ii），即碰撞后小球A反方向運(yùn)動(dòng)，根據(jù)（7）式，發(fā)生這種運(yùn)動(dòng)的條件是

    （12）

（iii）但，即碰撞后小球A 沿方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，但其速度小于小球C的速度．由（7）式和（6）式，可知發(fā)生這種運(yùn)動(dòng)的條件是

和

即        （13）

（iv），即碰撞后小球A仍沿方向運(yùn)動(dòng)，且其速度大于小球C的速度，發(fā)生這種運(yùn)動(dòng)的條件是

                 （14）

（v），即碰撞后小球A 和小球C以相同的速度一起沿方向運(yùn)動(dòng)，發(fā)生這種運(yùn)動(dòng)的條件是

             （15）

在這種情形下，由于小球B、D繞小球C作圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)細(xì)桿轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)，小球D 將從小球A的后面與小球A相遇，而發(fā)生第二次碰撞，碰后小球A繼續(xù)沿方向運(yùn)動(dòng)．根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，C球的速度要減小，碰后再也不可能發(fā)生第三次碰撞．這兩次碰撞的時(shí)間間隔是

        （16）

從第一次碰撞到第二次碰撞，小球C走過(guò)的路程

        （17）

3．求第二次碰撞后，小球A、B、C、D的速度

剛要發(fā)生第二次碰撞時(shí)，細(xì)桿已轉(zhuǎn)過(guò)，這時(shí)，小球B的速度為，小球D的速度為．在第二次碰撞過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量守恒，角動(dòng)量守恒和能量守恒．設(shè)第二次剛碰撞后小球A、B、C、D的速度分別為、、和，并假定它們的方向都與的方向相同．注意到（1）、（2）、（3）式可得

        （18）

       （19）

    （20）

由桿的剛性條件有

            （21）

（19）式的角動(dòng)量參考點(diǎn)設(shè)在剛要發(fā)生第二次碰撞時(shí)與D球重合的空間點(diǎn)．

把（18）、（19）、（20）、（21）式與（1）、（2）、（3）、（4）式對(duì)比，可以看到它們除了小球B 和D互換之外是完全相同的．因此它們也有兩個(gè)解

      （22）

和         （23）

對(duì)于由B、C、D 三小球組成的系統(tǒng)，在受到A球的作用后，其質(zhì)心的速度不可能保持不變，而（23）式是第二次碰撞未發(fā)生時(shí)質(zhì)心的速度，不合理，應(yīng)該舍去．�。�22）式時(shí)，可解得

          （24）

          （25）

     （26）

（22）、（24）、（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A以速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，即恢復(fù)到第一次碰撞前的運(yùn)動(dòng)，但已位于桿的前方，細(xì)桿和小球B、C、D則處于靜止?fàn)顟B(tài)，即恢復(fù)到第一次碰撞前的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但都向前移動(dòng)了一段距離，而且小球D和B換了位置．