Question

4．長為L的輕繩一端固定，另一端系住一個質(zhì)量為m的小球，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動．設在圓周最高點時，繩的張力為零，小球機械能為零．求：
（1）小球在最低點時的繩的張力；
（2）小球在最低點時的重力勢能．

Answer 1

分析 （1）在圓周最高點時，繩的張力為零，重力恰好提供向心力，求出最高點速度；小球運動過程中，只有重力做功，機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律先求出最低點速度，然后根據(jù)拉力和重力的合力提供向心力得出最低點繩的張力．
（2）由機械能守恒定律求得小球在最低點時的重力勢能．

解答 解：（1）在最高點，繩的張力為零，應有：
mg=$m\frac{v_0^2}{L}$，
所以有：v₀=$\sqrt{gL}$…①
從最高點到最低點的過程中機械能守恒：
 mg•2L=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}mv_0^2$…②
在最低點，由牛頓第二定律得：T-mg=$m\frac{v^2}{L}$…③
聯(lián)立可得：T=6mg．
（2）由①②式可求出小球在最低點的動能：
 E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{5}{2}$mgL…④
由機械能守恒定律得，在最低點小球的機械能也為零：
E_p+E_k=0
故有：E_p=-E_k=$-\frac{5}{2}$mgL．
答：（1）小球在最低點時繩的張力是6mg；（2）小球在最低點時的重力勢能是$-\frac{5}{2}$mgL．

點評 本題的切入點在于小球恰好通過最高點，關(guān)鍵是對運動過程運用機械能守恒定律以及合力提供向心力列式分析求解．