Question

4．一棱鏡的截面為直角三角形ABC，∠A=30°，斜邊AB=a．棱鏡材料的折射率為n=$\sqrt{2}$．在此截面所在的平面內(nèi)，一條光線以45°的入射角從AC邊的中點M射入棱鏡，求：光線從棱鏡射出時，出射點的位置（不考慮光線沿原來路返回的情況）．

Answer 1

分析 光線以45°的入射角時，要分入射光線在法線的右側(cè)和左側(cè)兩種情況進行討論研究．根據(jù)折射定律求出光線在AC面的折射角．根據(jù)幾何知識確定光線在AB或BC面上入射角．求出臨界角，判斷在這兩個面上能否發(fā)生全反射，畫出光路圖，求出光線從棱鏡射出的點的位置離A或B點的距離．

解答 解：設(shè)入射角為i，折射角為r，由折射定律得
$\frac{sini}{sinr}=n$，①
由已知條件及①式得r=30°，
如果入射光線在法線的右側(cè)，設(shè)出射點為F，由幾何關(guān)系可得$AF=\frac{3}{8}a$，
即出射點在AB邊上離A點$\frac{3}{8}a$的位置．
如果入射光線在法線的左側(cè)，光路圖如圖2所示．設(shè)折射光線與AB的交點為D．
由幾何關(guān)系可知，在D點的入射角θ=60°，
設(shè)全發(fā)射的臨界角為θ_C，則$sin{θ}_{C}=\frac{1}{n}$，
代入數(shù)據(jù)解得θ_C=45°，
因此，光在D點全反射．設(shè)此光線的出射點為E，由幾何關(guān)系得∠DEB=90°，
BD=a-2AF，BE=BDsin30°．
聯(lián)立解得BE=$\frac{1}{8}a$，即出射點在BC邊上離B點$\frac{1}{8}a$的位置．
答：如果入射光線在法線的右側(cè)，出射點在AB邊上離A點$\frac{3}{8}a$的位置．如果入射光線在法線的左側(cè)，出射點在BC邊上離B點$\frac{1}{8}a$的位置．

點評 本題中入射光線的位置未知，要分析兩種情況進行研究，不能漏解．要將折射定律與幾何知識結(jié)合起來分析光路．