Question

6．隨著“嫦娥工程”的實(shí)施，我國(guó)宇航員登上月球已不是夢(mèng)想．假如宇航員登上月球并在月球表面附近以初速度v₀豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)時(shí)間t后回到出發(fā)點(diǎn)．已知月球的半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 月球的質(zhì)量為$\frac{{2{v_0}{R^2}}}{Gt}$
• B． 月球表面的重力加速度為$\frac{v_0}{t}$
• C． 宇航員在月球表面獲得$\sqrt{\frac{{{v_0}R}}{t}}$的速度就可能離開(kāi)月球表面圍繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)
• D． 宇航員在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的繞行周期為$π\(zhòng)sqrt{\frac{Rt}{v_0}}$

Answer 1

分析 （1）小球在月球表面做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由t=$\frac{{2v}_{0}}{g}$求出月球表面的重力加速度，物體在月球表面上時(shí)，由重力等于地月球的萬(wàn)有引力求出月球的質(zhì)量．
（2）宇航員離開(kāi)月球表面圍繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)至少應(yīng)獲得的速度大小即月球的第一宇宙速度大小．
（3）宇航員乘坐飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)重力提供向心力求得繞行周期．

解答 解：A、小球在月球表面做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：
t=$\frac{{2v}_{0}}{g}$ 
解得：g=$\frac{{2v}_{0}}{t}$，
物體在月球表面上時(shí)，由重力等于地月球的萬(wàn)有引力得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，
解得：M=$\frac{{2{v_0}{R^2}}}{Gt}$，故A正確，B錯(cuò)誤；
C、宇航員離開(kāi)月球表面圍繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)至少應(yīng)獲得的速度大小即月球的第一宇宙速度大小
所以$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{\frac{{2v}_{0}R}{t}}$，故C錯(cuò)誤；
D、宇航員乘坐飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)重力提供向心力得：
mg=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R=m$\frac{{2v}_{0}}{t}$
解得：T=π$\sqrt{\frac{2Rt}{{v}_{0}}}$，故D錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題是衛(wèi)星類(lèi)型的問(wèn)題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由中心天體的萬(wàn)有引力提供向心力．重力加速度g是聯(lián)系物體運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)的橋梁．