Question

18．如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的光滑$\frac{3}{4}$圓弧軌道ABCD，其A點與圓心等高，D點為軌道最高點，AC為圓弧的一條水平直徑，AE為水平面．現(xiàn)使小球自A點正上方O點處由靜止釋放，小球從A點進入圓軌道后能通過軌道最高點D．則（　　）

• A． 小球通過D點時速度可能為零
• B． 小球通過D點后，一定會落到水平面AE上
• C． 小球通過D點后，可能會再次落回到圓軌道上
• D． O點距A點的高度至少應(yīng)為$\frac{5}{2}R$

Answer 1

分析 若小球恰能到達D點，知小球到達D點時對軌道的壓力為0，重力提供向心力，mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，求出D點的速度，小球離開D點做平拋運動，高度決定時間，根據(jù)時間和D點的速度求出水平距離，然后比較此最小距離與R的大小，判斷落點．

解答 解：A、小球在最高點受重力和支持力，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
其中N≥0
故v≥$\sqrt{gR}$，故A錯誤；
B、C、如果小球恰能通過最高點D，知小球到達D點時對軌道的壓力為0，重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
小球離開D點后做平拋運動，根據(jù)平拋運動的分位移公式，有：
豎直分運動：R=$\frac{1}{2}$gt²
水平分運動：s=vt
解得：t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
s=vt=$\sqrt{2}$R
落點與O點的水平距離為：S=$\sqrt{2}$R＞R．
所以小球一定會落到水平面AE上，故C錯誤，B正確；
D、設(shè)初始位置高度為h，小球運動過程中機械能守恒，根據(jù)守恒定律，有：
mgh=mgR+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由于v≥$\sqrt{gR}$
故得：h≥1.5R，故D錯誤；
故選：B．

點評 本題關(guān)鍵明確小球運動過程中只有重力做功，機械能守恒；同時要明確最高點的最小速度對應(yīng)著重力提供向心力的臨界狀態(tài)．