Question

12．質(zhì)量為M、長(zhǎng)為$\sqrt{3}$L的桿水平放置，桿兩端A、B系著長(zhǎng)為3L的不可伸長(zhǎng)且光滑的柔軟輕繩，繩上套著一質(zhì)量為m的小鐵環(huán)．已知重力加速度為g，不計(jì)空氣影響．
（1）現(xiàn)讓桿和環(huán)均靜止懸掛在空中，如圖甲所示，求繩中拉力的大�。�
（2）若桿與環(huán)保持相對(duì)靜止，在空中沿AB方向水平向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)環(huán)恰好懸于A端的正下方，如圖乙所示．求此狀態(tài)下桿的加速度大小a；
（3）為保持（2）這種狀態(tài)需在桿上施加一個(gè)多大的外力，方向如何？

Answer 1

分析 （1）以環(huán)為研究對(duì)象，環(huán)處于靜止?fàn)顟B(tài)，合力為零，根據(jù)平衡條件求解繩中拉力的大�。�
（2）以環(huán)為研究對(duì)象，由正交分解法，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度；
（3）對(duì)整體研究，由正交分解法，根據(jù)牛頓第二定律求解外力的大小和方向．

解答 解：（1）以環(huán)為研究對(duì)象，環(huán)處于靜止?fàn)顟B(tài)，合力為零，分析受力如圖所示，設(shè)兩繩的夾角為2θ．
則sinθ=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}L}{1.5L}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
設(shè)繩子的拉力大小為T(mén)，由平衡條件得
2Tcosθ=mg
解得T=$\frac{\sqrt{6}}{4}mg$；
（2）對(duì)環(huán)：設(shè)繩子的拉力大小為T(mén)′，則根據(jù)牛頓第二定律得：
豎直方向：T′+T′cos60°=mg
水平方向：T′sin60°=ma，
解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$g
（3）設(shè)外力大小為F，方向與水平方向成α角斜向右上方．
對(duì)整體：由牛頓第二定律得：
水平方向：Fcosα=（M+m）a
豎直方向：Fsinα=（M+m）g
解得，F(xiàn)=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$（m+M）g，α=60°即外力方向與水平方向夾角為60°斜向右上方．
答：（1）現(xiàn)讓桿和環(huán)均靜止懸掛在空中，繩中拉力的大小是$\frac{\sqrt{6}}{4}mg$；
（2）此狀態(tài)下桿的加速度大小a為$\frac{\sqrt{3}}{3}$g；
（3）為保持這種狀態(tài)需在桿上施加一個(gè)的外力為$\frac{2}{3}\sqrt{3}$（m+M）g，方向與水平方向夾角為60°斜向右上方．

點(diǎn)評(píng) 本題中鐵環(huán)與動(dòng)滑輪相似，兩側(cè)繩子拉力大小相等，運(yùn)用正交分解法研究平衡狀態(tài)和非平衡情況．