Question

18．如圖，一個(gè)質(zhì)量為M的凹槽右側(cè)緊挨著豎直的固定墻面，靜止在光滑水平面上，凹槽的內(nèi)表面ABC是半徑為R的半圓光滑圓弧，AC是半圓的水平直徑，B是半圓的最低點(diǎn)，一質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，已知m：M=2：3
（1）求小球第一次通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（2）以B為高度起點(diǎn)，小球第一次通過(guò)B點(diǎn)后能夠到達(dá)的最大高度為多少？
（3）小球達(dá)到最高點(diǎn)后又返回B點(diǎn)時(shí)，小球與凹槽的速度各為多少？
（4）小球達(dá)到最高點(diǎn)后又返回B點(diǎn)時(shí)，小球?qū)Π疾鄣膲毫�為多大�?

Answer 1

分析 （1）小球向B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，只有重力做功，由動(dòng)能定理即可求出速度；
（2）小球從B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球與槽組成的系統(tǒng)在水平方向滿足動(dòng)量守恒定律，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，二者的速度相等，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒即可求出；
（3）小球達(dá)到最高點(diǎn)后又返回B點(diǎn)的過(guò)程中，小球與槽組成的系統(tǒng)在水平方向滿足動(dòng)量守恒定律，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律即可求出．
（4）由牛頓第二定律求出支持力，然后由牛頓第三定律求出壓力．

解答 解：（1）A到B的過(guò)程中重力做功，由動(dòng)能定理得：mgR=$\frac{1}{2}$mv₀²，解得：v₀=$\sqrt{2gR}$；
（2）小球從B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球與槽組成的系統(tǒng)在水平方向滿足動(dòng)量守恒定律，到達(dá)最高點(diǎn)h時(shí)，二者的速度相等，
選取向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：mv₀=（m+M）v₁，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²+mgh，
解得：v₁=$\frac{2}{5}$v₀，h=$\frac{3}{5}$R；
（3）小球達(dá)到最高點(diǎn)后又返回B點(diǎn)的過(guò)程中，小球與槽組成的系統(tǒng)在水平方向滿足動(dòng)量守恒定律，
選取向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：mv₀=mu₁+Mv₂，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mu₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²，
解得：u₁=-$\frac{1}{5}$v₀，v₂=$\frac{4}{5}$v₀；
（4）由牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{（{u}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{R}$，
解得：F=3mg，由牛頓第三定律可知，壓力：F′=F=3mg；
答：（1）小球第一次通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{2gR}$．
（2）以B為高度起點(diǎn)，小球第一次通過(guò)B點(diǎn)后能夠到達(dá)的最大高度為$\frac{3}{5}$R．
（3）小球達(dá)到最高點(diǎn)后又返回B點(diǎn)時(shí)，小球與凹槽的速度分別為：-$\frac{1}{5}$v₀，方向向右、$\frac{4}{5}$v₀．
（4）小球達(dá)到最高點(diǎn)后又返回B點(diǎn)時(shí)，小球?qū)Π疾鄣膲毫��?mg．

點(diǎn)評(píng) 本題是兩個(gè)物體組成系統(tǒng)的動(dòng)量守恒問(wèn)題，由于研究的過(guò)程較多，所以難度系數(shù)稍微增大．該題只要按照規(guī)范的步驟逐步分析，即可正確解答．