Question

3．如圖所示，半徑分別為R和r（R＞r）的甲、乙兩光滑半圓軌道放置在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一光滑水平軌道CD相連，在水平軌道CD上有一輕彈簧被a、b兩個質(zhì)量均為m的小球夾住，但不拴接．同時釋放兩小球，彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為兩球的動能，若兩球獲得相等動能，其中有一只小球恰好能通過最高點，另一小球在最高點時對軌道的壓力為mg，兩球離開半圓軌道后均做平拋運動落到水平軌道的同一點（不考慮小球在水平面上的反彈，不計空氣阻力）．則（　　）

• A． 恰好通過最高點的是b球
• B． a球、b球組成的系統(tǒng)機械能守恒
• C． 軌道半徑R=$\frac{4}{3}$r
• D． CD兩點之間的距離為$\frac{6+5\sqrt{2}}{3}$R

Answer 1

分析 小球恰好能通過最高點，在最高點，由重力提供向心力，則半徑越大，到達(dá)最高點的動能越大，而兩球初動能相等，其中有一只小球恰好能通過最高點，
所以是a球剛好到達(dá)最高點，此時對軌道的壓力為零，分別對ab兩球在最高點，根據(jù)牛頓第二定律列式結(jié)合機械能守恒定律列式求解半徑關(guān)系，ab兩球離開軌道后做平拋運動，CD的距離等于兩球平拋運動的水平距離之和，根據(jù)平拋運動的基本公式即可求解CD的距離．

解答 解：A、由于兩球離開軌道后均做平拋運動且均能經(jīng)過最高點，a球的軌道半徑大，到達(dá)最高點的速度小，故恰好通過最高點的是a球，故A錯誤；
B、a球、b球、彈簧組成的系統(tǒng)只有重力和彈簧彈力做功，系統(tǒng)機械能守恒，故B正確；
C、對于a球在最高點有$v=\sqrt{gR}$，b球在最高點有$2mg=m\frac{v{′}^{2}}{r}$，
由機械能守恒可得$\frac{1}{2}m{v}^{2}+mg•2R=\frac{1}{2}mv{′}^{2}+mg•2r$，解得$R=\frac{6}{5}r$，故C錯誤；
D、ab兩球離開軌道后做平拋運動，CD的距離等于兩球平拋運動的水平距離之和，根據(jù)平拋運動的基本公式得：
CD之間的距離為${l}_{CD}=\sqrt{gR}×\sqrt{\frac{2×2R}{g}}+\sqrt{2gr}×\frac{2×2r}{g}$=$\frac{6+5\sqrt{2}}{3}R$，故D正確．
故選：BD

點評 本題主要考查了機械能守恒定律、向心力公式、平拋運動基本公式的直接應(yīng)用，過程較為復(fù)雜，要求同學(xué)們能正確分析小球的運動過程中，能根據(jù)基本規(guī)律解題，難度適中．