Question

13．如圖（a）所示，在-d≤x≤0范圍內(nèi)存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在0≤x≤d范圍內(nèi)存在著電場(chǎng)（電場(chǎng)方向圖中未畫出）．一質(zhì)量為m，電荷量為q的正電粒子，在磁場(chǎng)x=-d邊界上的P點(diǎn)以速度大小為v₀，方向與磁場(chǎng)邊界的夾角為30°垂直于磁場(chǎng)方向射入．隨后粒子經(jīng)坐標(biāo)原點(diǎn)O沿+x方向射入電場(chǎng)區(qū)域（粒子重力不計(jì)）．

（1）求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）若在0≤x≤d的區(qū)域的坐標(biāo)平面內(nèi)只加平行于y軸的電場(chǎng)，電場(chǎng)中的各點(diǎn)電勢(shì)φ隨坐標(biāo)y分布如圖（b）所示（圖中的φ₀、h為已知量），求粒子從x=d邊界飛出電場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)；
（3）若在0≤x≤d的區(qū)域再加上平行于x軸方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，使經(jīng)坐標(biāo)原點(diǎn)O沿+x方向射入的帶電粒子能越過(guò)y軸回到勻強(qiáng)磁場(chǎng)，求勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的最小值E₁．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，求軌跡半徑，由牛頓第二定律求磁感應(yīng)強(qiáng)度B．
（2）根據(jù)電勢(shì)高低可知所加的電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向y軸的負(fù)方向，場(chǎng)強(qiáng)為E=$\frac{{φ}_{0}}{h}$．帶電粒子在電場(chǎng)中做類似于平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求加速度，由分位移公式求解即可．
（3）粒子在電場(chǎng)中沿x軸方向的分運(yùn)動(dòng)是沿+x方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，至分速度為零后反向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和速度位移關(guān)系公式結(jié)合求解．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其運(yùn)動(dòng)的半徑為r，有：Bqv₀=$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$  …①
由幾何關(guān)系有：r=$\fracv29l2hi{cos30°}$  …②
得：B=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qd}$  …③
（2）所加的電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向y軸的負(fù)方向，場(chǎng)強(qiáng)為E，則：E=$\frac{{φ}_{0}}{h}$ …④
帶電粒子在電場(chǎng)中做類似于平拋運(yùn)動(dòng)，有：
  d=v₀t  …⑤
  y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$  …⑥
 a=$\frac{qE}{m}$  …⑦
聯(lián)立④⑤⑥⑦式得：y=$\frac{q{φ}_{0}y7vxgkx^{2}}{2hm{v}_{0}^{2}}$
粒子飛出電場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)為（d，-$\frac{q{φ}_{0}j4dqw2n^{2}}{2hm{v}_{0}^{2}}$）
（3）粒子在電場(chǎng)中沿x軸方向的分運(yùn)動(dòng)是沿+x方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，至分速度為零后反向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的最小值E₁有：
  E₁q=ma₁…⑧
  ${v}_{0}^{2}$=2a₁d…⑨
聯(lián)立⑧⑨兩式得：E₁=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qd}$…⑩
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qd}$；
（2）粒子飛出電場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)為（d，-$\frac{q{φ}_{0}f24d1ym^{2}}{2hm{v}_{0}^{2}}$）
（3）勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的最小值E₁為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qd}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，首先要運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法分析清楚粒子的運(yùn)動(dòng)情況，再選擇合適方法處理．對(duì)于勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，常常運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，將其分解為兩個(gè)直線的合成，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解；對(duì)于磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)，要正確畫出軌跡，由幾何知識(shí)求解半徑．