云南省2009屆高三第一次統(tǒng)一檢測
數(shù)學試題(理科)
本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分?荚嚱Y束后,將本試卷和答題卡一并交回。滿分150分,考試用時150分鐘。
第Ⅰ卷(選擇題,共60分)
注意事項:
1.答題前,考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚,并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目,在規(guī)定的位置貼好條形碼。
2.每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡皮擦擦干凈后,再選涂其他答案標號。在試題卷上作答無效。
參考公式:
如果事件A、B互斥,那么
球的表面積公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互獨立,那么
P(A?B)=P(A)?P(B) 其中R表示球的半徑
如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是 球的體積公式
P,那么n次獨立重復試驗中事件A恰
好發(fā)生k次的概率
其中R表示球的半徑
本卷共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
一、選擇題
1.已知x、y都是實數(shù),下列集合中,恰有2個元素的集合是 ( )
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A. B.
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C. D.
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2.已知 ( )
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3.若A、B是銳角△ABC的兩上內角,則點在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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A.4 B.6 C.8 D.10
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5.已知一個棱長為2a的正方體的八個頂點都在球O的球面上,則球O的體積、表面積分別為 ( )
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6.已知時,下列不等式,正確的是 ( )
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A.
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B.
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C.
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D.
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9.等于 ( )
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10.已知點P在的面積的m倍,那么m= ( )
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11.已知等于 ( )
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A.2:1 B.6:7 C.49:18 D.9:13
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第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)
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二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分。把答案填在答題卡上。 13.函數(shù)處的切線方程為
。
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14.已知實數(shù)x、y滿足的最大值等于 。
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那么的值等于
。
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16.設b,c,m是空間的三條不同直線,α,β,γ是空間的三個不同平面,在下面給出的四個命題中:
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其中正確命題的序號為 。(把你認為正確的命題的序號都填上)
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三、解答題:本大題共6小題,共70分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。 17.(本小題滿分10分)
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已知向量
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(I)若;
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(II)當的最小正周期T。
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18.(本小題滿分12分)
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已知是實數(shù).
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(I)當取得極小值時,求實數(shù)x的值;
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(II)當的最大值。
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(II)當的取值范圍。
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19.(本小題滿分12分)
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如圖,在四棱錐P―ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC,點E是PC的中點,點F在PB上,EF⊥PB。
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(I)求證:PA//平面BDE;
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(II)求證:PB⊥平面DEF;
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20.(本小題滿分12分)
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已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球,乙盒內有大小相同的x個紅球和4個黑球。現(xiàn)在先從甲盒內一次隨機取2個球,再從乙盒內一次隨機取出2個球,甲盒內每個球被取到的概率相等,乙盒內每個球被取到的概率也相等。已知取出的4個球都是黑球的概率為
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(I)求乙盒內紅球的個數(shù)x;
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(II)設ξ為取出的4個球中紅球的個數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學期望。
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21.(本小題滿分12分)
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(I)求雙曲線S的方程;
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(II)當以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O時,求實數(shù)k的值。
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22.(本小題滿分12分)
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(I)求數(shù)列通項公式;
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(II)求Tn;
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(III)設
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一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分。 1―5 DABBA 6―10 DDCCB 11―12 AC 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分。 13. 14. 15. 16.②④ 三、解答題:本大題共6小題,滿分70分。 17.(本小題滿分10分)
(I)解: 時, ………………2分 ………………4分 ,
………………5分
(II)解:
18.(本小題滿分12分)
(I)解:
(II)解: 由(I)知:
(III)解:
19.(本小題滿分12分) 解法一:
(I)證明 如圖,連結AC,AC交BD于點G,連結EG。 ∵ 底面ABCD是正方形, ∴ G為AC的中點. 又E為PC的中點, ∴EG//PA。 ∵EG平面EDB,PA平面EDB, ∴PA//平面EDB
………………4分
(II)證明: ∵ PD⊥底面ABCD,∴PD⊥BC,PD⊥DC,PD⊥DB 又∵BC⊥DC,PD∩DC=D, ∴BC⊥平面PDC。 ∴PC是PB在平面PDC內的射影。 ∵PD⊥DC,PD=DC,點E是PC的中點, ∴DE⊥PC。 由三垂線定理知,DE⊥PB。 ∵DE⊥PB,EF⊥PB,DE∩EF=E, ∴PB⊥平面EFD。
…………………………8分
(III)解: ∵PB⊥平面EFD, ∴PB⊥FD。 又∵EF⊥PB,F(xiàn)D∩EF=F, ∴∠EFD就是二面角C―PB―D的平面角!10分 ∵PD=DC=BC=2, ∴PC=DB= ∵PD⊥DB,
由(II)知:DE⊥PC,DE⊥PB,PC∩PB=P, ∴DE⊥平面PBC。 ∵EF平面PBC, ∴DE⊥EF。
∴∠EFD=60°。 故所求二面角C―PB―D的大小為60°。 ………………12分 解法二: 如圖,以點D為坐標原點,DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸, 建立空間直角坐標系,得以下各點坐標:D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0), C(0,2,0),P(0,0,2) ………………1分 (I)證明: 連結AC,AC交BD于點G,連結EG。 ∵ 底面ABCD是正方形, ∴ G為AC的中點.G點坐標為(1,1,0)。
∴PA//平面EDB ………………4分 (II)證明:
(III)解: ∵PB⊥平面EFD, ∴PB⊥FD。 又∵EF⊥PB,F(xiàn)D∩EF=F, ∴∠EFD就是二面角C―PB―D的平面角!10分
∴∠EFD=60°。 故所求二面角C―PB―D的大小為60°。 ………………12分 20.(本小題滿分12分) (I)解: 設 “從甲盒內取出的2個球均為黑球”為事件,“從乙盒內取出的2個球均為黑球”為事件.由于事件相互獨立,所以取出的4個球均為黑球的概率為 ………………2分 依題設,
故乙盒內紅球的個數(shù)為2。 ……………………5分 (II)解: 由(I)知
ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P
………………10分 ………………12分 21.(本小題滿分12分) (I)解:由題意設雙曲線S的方程為 ………………2分 c為它的半焦距,
(II)解:
22.(本小題滿分12分) (I)解:
(III)解:
(III)解:
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