哈爾濱市第六中學2009屆高三第二次模擬考試
數學（理工類）試題
考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
注意事項：
1.答題前，考生在答題卡上務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并貼好條形碼。請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目。
2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，在試題卷上作答無效。
3．本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
參考公式：
如果事件互斥，那么
如果事件相互獨立，那么
如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率
球的表面積公式，其中表示球的半徑
球的體積公式，其中表示球的半徑
一、選擇題
1.( )
A． B． C． D．
2.計算的值為( )
A． B． C． D．
3.“”是“”成立的 （ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既非充分也非必要條件
4.函數的反函數為（ ）
A． B．
C． D．
5.高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（ ）
A．16種 B．18種 C．37種 D．48種
6.已知 為鄰邊的平行四邊形的較短的對角線長為 （ ）
A． B．14 C．15 D．16
7.連續(xù)擲一枚均勻的正方體骰子(6個面分別標有1，2，3，4，5，6)�，F(xiàn)定義數列 設是其前項和，那么的概率是( )
A． B． C． D．
8.各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為，若，則等于（ ）
A．16 B．26 C．30 D．80
9.已知球O的半徑為2cm，A、B、C為球面上三點，A與B，B與C的球面距離都是，A與C的球面距離為cm，那么三棱錐O―ABC的體積為（ ）
A． B． C． D．
10.已知函數的導數處取到極大值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．
11.在Rt△ABC中，AB=AC=1，若一個橢圓通過A、B兩點，它的一個焦點為點C，另一個焦點在線段AB上，則這個橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
12.對于函數設（且），令集合，則集合為（ ）
A．空集 B.實數集 C.單元素集 D.二元素集
第Ⅱ卷
注意事項：
1.答題前，考生在答題卡上務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并貼好條形碼.請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目.
2．請用黑色簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，在試題卷上作答無效.
3．本卷共10小題，共90分.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 設函數為上的連續(xù)函數，則= 。
14. 已知，，則z取得最大值時的最優(yōu)解為 。
15.若且,則實數的值為
16. 給出下列命題：
①若成等比數列；
②已知函數的交點的橫坐標為；
③函數至多有一個交點；
④函數
其中正確命題的序號是 。（把你認為正確命題的序號都填上）。
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本題滿分10分）
在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若m，n，試求|mn|的最小值．
18．（本題滿分12分）
盒子中裝著標有數字1,2,3,4,5的卡片各２張，從盒子中任取３張卡片，每張卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3張卡片上的最大數字，求：
（1）取出的3張卡片上的數字互不相同的概率；
（2）隨機變量的概率分布和數學期望；
19．（本題滿分12分）
已知矩形ABCD中，AB=，AD=1. 將△ABD沿BD折起，使點A在平面BCD內的射影落在DC上.
（Ⅰ）求證：平面ADC⊥平面BCD；
（Ⅱ）求點C到平面ABD的距離；
（Ⅲ）若E為BD中點，求二面角B-AC-E的大小.
20．（本題滿分12分）
已知數列的前項之和為，點在直線上，數列滿足
()。
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項之和；
（3）是否存在常數，使數列是等比數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。
21．（本題滿分12分）
已知橢圓中心在原點，焦點在坐標軸上，直線與橢圓在第一象限內的交點是，點在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點，另一個焦點是，且。
（1）求橢圓的方程；
（2）直線過點，且與橢圓交于兩點，求的內切圓面積的最大值。
22．（本題滿分12分）
已知函數在區(qū)間上是增函數，在區(qū)間上為減函數．
（1）求實數的值；
（2）設函數是區(qū)間上的增函數，且對于內的任意兩個變量，恒成立，求實數的取值范圍；
（3）設，求證：
哈爾濱市第六中學2009屆高三第二次模擬考試
數學（理工類）答案
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
D
C
C
B
C
A
B
D
A
二、填空題（4×5=20分）
13.1 14. 15.1或-3 16.②③④
三、解答題：
17．（本題滿分10分）
（1），
即，
∴，∴． ------------------3分
∵，∴． ------------------4分
（2）mn ， ------------------5分
|mn|． ----7分
∵，∴，∴．
從而． ------------------8分
∴當＝1，即時，|mn|取得最小值．
所以，|mn|． ------------------10分
18. （本題滿分12分）
解：（１）記＂一次取出的３張卡片上的數字互不相同的事件＂為Ａ，
則 ------------------4分
（２）由題意有可能的取值為：２，３，４，５
所以隨機變量的概率分布為：
２
３
４
５
Ｐ
所以的數學期望為Ｅ＝＋＋＋＝ ----------------12分
19. （本小題滿分12分）
方法1：
（（Ⅰ）證明：∵點A在平面BCD上的射影落在DC上，即平面ACD經過平面BCD的垂線，∴平面ADC⊥平面BCD. -----------------------2分
（Ⅱ）∵DA⊥平面ABC. ∴平面ADB⊥平面ABC.過C做CH⊥AB于H，∴CH⊥平面ADB，所以CH為所求。且CH=即點C到平面ABD的距離為. -----------------7分
（Ⅲ）解：取中點，連為中點
由（Ⅱ）中結論可知DA⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC.
過F作FG⊥AC，垂足為G，連結EG，
則GF為EG在平面ABC的射影，
∴∠EGF是所求二面角的平面角.
在△ABC中
FG＝BC＝, 又EFAD，∴EF＝
在△EFG中容易求出∠EGF=45°.
即二面角B-AC-E的大小是45°. . ----------------12分
20. （本小題滿分12分）
（1）由已知條件得=2n+1∴n=n(2n+1) . ----------------2分
當n=1時,a1=S1=3;
當n≥2時,
an=Sn-Sn-1=4n-1∵a1符合上式∴an=4n-1; ---------------4分
（2）∵
∴
∴∴bn=4×3n+1∴Tn=6(3n-1)+n; ---------------8分
(3)設，假設存在常數p(p≠-1)使數列{ }為等比數列,則有解得p=-81當p=-81時，不存在，∴不存在常數(p≠-1)使數列{ }為等比數列. ---------------12分
（1）設橢圓方程為，點在直線上，且點在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點， 則點為。-----------------------1分
，而為，則有
則有，所以 -----------------------2分
又因為
所以 -----------------------3分
所以橢圓方程為： -----------------------4分
（2）由（1）知,過點的直線與橢圓交于兩點，則
的周長為，則（為三角形內切圓半徑），當的面積最大時，其內切圓面積最大。 -----------------------5分
設直線方程為：，，則
--------------------7分
所以-------------------9分
令，則，所以，而在上單調遞增，
所以，當時取等號，即當時，的面積最大值為3，結合，得的最小值為-----------------12分
22.解：(1) ∵，依題意，
∴，∴ ………………………1分
又∵，依題意
∴，∴ ………………………2分
∴ ………………………………………………………………3分
（2）由（1）可知
∴在上為減函數，且
∵在上為增函數，∴
∴，∴ ………………………5分
又∵在上，∴依題意有
∴ ………………………………………………………………6分
（3）證明：∵ ………………7分
①當時，，原式成立………8分
②當時，
……………………9分
……………10分
由已知，，∴原不等式成立
∴綜上所述， ………………………12分
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