1．如果復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，則的值等于

A．                        B．                           C．                       D．

2．右圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是

A．

B．

C．

D．

3．若函數(shù)的圖象如右圖，其中為常數(shù)．則函數(shù)的大致圖象是

A．                B．               C．               D．

4．設(shè)平面區(qū)域是由雙曲線的兩條漸近線和橢圓的右準線所圍成三角形的邊界及內(nèi)部．若點，則目標函數(shù)的最大值為

A．                           B．                          C．                          D．

5．定義行列式運算：將函數(shù)的圖象向左平移個單位，若所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是

A．             B．              C．              D．

6．利用計算機在區(qū)間上產(chǎn)生兩個隨機數(shù)和，則方程有實根的概率為

A．                         B．                          C．                         D．

7．在右圖的表格中，如果每格填上一個數(shù)后，每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，那么的值為

A．                                                              B．

C．                                                             D．

8．用紅、黃、藍三種顏色之一去涂圖中標號為的個小正方形（如右圖），使得任意相鄰（有公共邊的）小正方形所涂顏色都不相同，且標號為“、、”的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有

A．種                                                      B．種

C．種                                                       D．種

（一）必做題：第9、10、11、12題為必做題，每道試題考生都必須做答

9．某大型超市銷售的乳類商品有四種：純奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉，且純奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉分別有種、種、種、種不同的品牌．現(xiàn) 采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為的樣本進行三聚氰胺安全檢測，若抽取的嬰幼兒奶粉的品牌數(shù)是，則             ．

10．已知為正偶數(shù)，且的展開式中第項的二項式系數(shù)最大，則第項的系數(shù)是           ．（用數(shù)字作答）m.0flux.com

11．已知命題，．若命題是假命題，則實數(shù)的取值范圍是           ．

12．已知是的中線，，那么       ；若，，則的最小值是           ．

（二）選做題：第13、14、15題為選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計算前兩題的得分．

13．（坐標系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線在極坐標系中的方程為．若曲線與有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是          ．

14．（幾何證明選講選做題）如圖，切⊙于點，交⊙于、兩點，且與直徑交于點，，，，則         ．

15．（不等式選講選做題）若不等式，對滿足的一切實數(shù)、、恒成立，則實數(shù)的取值范圍是            ．

16．（本小題滿分12分）m.0flux.com

已知函數(shù)．

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）設(shè)，求的值域和單調(diào)遞增區(qū)間．

17．（本小題滿分12分）

如圖，為圓的直徑，點、在圓上，，矩形所在平面和圓所在的平面互相垂直．已知，．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大��；

（Ⅲ）當的長為何值時，二面角的大小為？

18．（本小題滿分14分）

甲乙兩人進行圍棋比賽，約定每局勝者得1分，負者得分（無平局），比賽進行到有一人比對方多分或打滿局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為．

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）設(shè)表示比賽停止時已比賽的局數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．

注：“”，即為“”或為“”．

19．（本題滿分14分）

已知函數(shù)（，）．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）若不等式對一切正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

20．（本題滿分14分）

在四邊形中，已知，點在軸上， ，且對角線．

（Ⅰ)求點的軌跡方程；

（Ⅱ)若點是直線上任意一點，過點作點的軌跡的兩切線、，、為切點，為的中點．求證：軸；

（Ⅲ）在(Ⅱ)的條件下，直線是否恒過一定點？若是，請求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由．

21．（本題滿分14分）

已知函數(shù)，為函數(shù)的導函數(shù)．

（Ⅰ）若數(shù)列滿足：，（），求數(shù)列的通項；

（Ⅱ）若數(shù)列滿足：，（）．

（?）當時，數(shù)列是否為等差數(shù)列？若是，請求出數(shù)列的通項；若不是，請說明理由；

（?）當時，求證：．

2009年深圳市高三年級第一次調(diào)研考試

數(shù)學(理科)答案及評分標準

說明：

1

2

3

4

5

6

7

8

C

C

D

C

A

B

B

A

  9．．              10．．             11． ．          12． ； ．

 13．．          14． ．             15．．

16．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)．

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）設(shè)，求的值域和單調(diào)遞增區(qū)間

【解】（Ⅰ）∵

.                                                                  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………  3分                   

的最小正周期為．                 …………………  5分

（Ⅱ）∵，  ，    ．           

的值域為．       　………………  10分

當遞減時，遞增．　　　　　　　　　　　　

，即．        

故的遞增區(qū)間為．           ……………………12分

17．（本小題滿分12分）

如圖，為圓的直徑，點、在圓上，，矩形和圓所在的平面互相垂直．已知,．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大�。�

(Ⅲ)當的長為何值時，二面角的大小為？

【解】（Ⅰ）證明：平面平面,,

平面平面=，

平面．

平面，，

又為圓的直徑，，

平面．

平面，平面平面．                  ………………………4分

 （Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的證明，有平面，為在

平面上的射影，

因此，為直線與平面所成的角． ………………………5分

，四邊形為等腰梯形，

過點作，交于．

,，則．

在中，根據(jù)射影定理，得．       ………………………7分

，．

直線與平面所成角的大小為．                       ………………………8分

 (Ⅲ)（解法一）過點作，交的延長線于點，連．

根據(jù)（Ⅰ）的證明，平面，則，

為二面角的平面角，．             …………………9分

在中，，,．              …………………  10分

又四邊形為矩形， ．

．               

因此，當的長為時，二面角的大小為．            …………………12分

（解法二）設(shè)中點為，以為坐標原點，、、方向

分別為軸、軸、軸方向建立空間直角坐標系（如圖）

設(shè)，則點的坐標為

在中，，,．

點的坐標為，點的坐標為,

，

設(shè)平面的法向量為，則,．

即     令，解得

                                               …………………10分

取平面的一個法向量為，依題意與的夾角為

，即， 解得（負值舍去）

因此，當的長為時，二面角的大小為．           …………………12分

18．（本小題滿分14分）

甲乙兩人進行圍棋比賽，約定每局勝者得1分，

負者得分，比賽進行到有一人比對方多分或打滿

局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，

且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結(jié)束時比賽

停止的概率為．

若右圖為統(tǒng)計這次比賽的局數(shù)和甲、乙的總得

分數(shù)、的程序框圖．其中如果甲獲勝，輸入，

；如果乙獲勝，則輸入．

寫什么條件？

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）設(shè)表示比賽停止時已比賽的局數(shù)，求隨機變量

的分布列和數(shù)學期望． 　　　  

注：“”，即為“”或為“”．

【解】（Ⅰ）程序框圖中的第一個條件框應(yīng)填，第二個應(yīng)填．     ………………… 4分

注意：答案不唯一．

（Ⅱ）依題意，當甲連勝局或乙連勝局時，第二局比賽結(jié)束時比賽結(jié)束．

有．   

 解得或．                               …………………………………6分

，     ．                                ………………………… 7分

（Ⅲ）（解法一）依題意知，的所有可能值為2，4，6．            ………………………… 8分

設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為．

若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響．

從而有，

　　　　，

　　　　．

隨機變量的分布列為：                                    …………………………… 12分

故．                           …………………………… 14分

 （解法二）依題意知，的所有可能值為2，4，6．                      …………………  8分

令表示甲在第局比賽中獲勝，則表示乙在第局比賽中獲勝．

由獨立性與互不相容性得

，

              ，

              ．                                   …………………  12分

隨機變量的分布列為：m.0flux.com

故．                                 …………………  14分

19．（本題滿分14分）

已知函數(shù)（，）．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若不等式對一切正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

【解】（Ⅰ）                                     …………………  2分

，

由，得．

，，．

又．

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為．  ………… 6分  

（Ⅱ）【法一】不等式，即為．……………（※）

令，當時，．

則不等式（※）即為．                             …………………9分

令，，

在的表達式中，當時，，

又時，，

在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

在時，取得最大，最大值為．             …………………12分

因此，對一切正整數(shù)，當時，取得最大值．

實數(shù)的取值范圍是．                           ………………………… 14分

【法二】不等式，即為．………………（※）

設(shè)，

，

令，得或．                               ………………………… 10分

當時，，當時，．

當時，取得最大值．

因此，實數(shù)的取值范圍是．                        ………………………… 14分

20．（本題滿分14分）

在四邊形中，已知，點在軸上， ，且對角線．

（Ⅰ) 求點的軌跡的方程；

(Ⅱ)若點是直線上任意一點，過點作點的軌跡的兩切線、，、為切點，為的中點．求證：軸或與軸重合；

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下，直線是否恒過一定點？若是，請求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由．

【解】（Ⅰ)如圖，設(shè)點的坐標為，

則，

，，即．

∴所求的軌跡是除去頂點的拋物線 ……………… 3分

  （解法一）(Ⅱ)對函數(shù)求導得，．

設(shè)切點坐標為，則過該切點的切線的斜率是，該切線方程是．

又設(shè)點的坐標為，

切線過點，有，

化簡，得．                              …………………………6分

設(shè)、兩點的坐標分別為、，則、為方程的兩根，

．

因此，當時，直線與軸重合，當時，直線與軸平行     …………9分

(Ⅲ) ．

點的坐標為．                         

     又．

直線的方程為：，即．………（）

當時，方程（）恒成立，

對任意實數(shù)，直線恒過定點，定點坐標為．        …………………………14分

（解法二）(Ⅱ)設(shè)點的坐標為，利用切點弦直線方程的結(jié)論可得出直線的方程為，即                          …………………………7分

由 得.

．

.

因此，當時，直線與軸重合，當時，直線與軸平行.   ……………9分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)得知直線的方程為，即．

后面解法同解法一.

21．（本題滿分14分）

已知函數(shù)，為函數(shù)的導函數(shù)．

（Ⅰ）若數(shù)列滿足：，（），求數(shù)列的通項；

（Ⅱ）若數(shù)列滿足：，（）．

（?）當時，數(shù)列是否為等差數(shù)列？若是，請求出數(shù)列的通項；若不是，請說明理由；

（?）當時， 求證：．

【解】（Ⅰ），                 …………………………1分

，

即．                         …………………………3分

，   數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．

，即．                  …………………………5分

（Ⅱ）（?），

．

當時，．

假設(shè)，則．

由數(shù)學歸納法，得出數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，是等差數(shù)列，其通項為．   …………8分

（?）， ．

當時，．

假設(shè)，則 ．

由數(shù)學歸納法，得出數(shù)列．……………10分

又，

，

即．                 …………………………12分

．

，

．                 　   …………………………14分

                               審題：石永生    命題：喻秋生   姚亮   黃元華