已知數(shù)列是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為d，為其前n項和，且滿足,．數(shù)列滿足,，為數(shù)列的前n項和．

（1）求數(shù)列的通項公式和數(shù)列的前n項和；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．

【解析】第一問利用在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又時，滿足，

，

第二問，①當n為偶數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等號在n=2時取得．

此時 需滿足．  

②當n為奇數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是隨n的增大而增大， n=1時取得最小值-6．

此時 需滿足．

第三問，

     若成等比數(shù)列，則，

即．

由，可得，即，

        ．

（1）（法一）在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又時，滿足，

，

．

（2）①當n為偶數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等號在n=2時取得．

此時 需滿足．  

②當n為奇數(shù)時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是隨n的增大而增大， n=1時取得最小值-6．

此時 需滿足．

綜合①、②可得的取值范圍是．

（3），

     若成等比數(shù)列，則，

即．

由，可得，即，

．

又，且m>1，所以m=2，此時n=12．

因此，當且僅當m=2， n=12時，數(shù)列中的成等比數(shù)列

 

已知是等差數(shù)列，其前n項和為S_n，是等比數(shù)列，且，.

（Ⅰ）求數(shù)列與的通項公式；

（Ⅱ）記，，證明（）.

【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.

由，得，，.

由條件，得方程組，解得

所以，，.

（2）證明：（方法一）

由（1）得

     ①

   ②

由②-①得

而

故，

（方法二：數(shù)學歸納法）

①  當n=1時，，，故等式成立.

②  假設當n=k時等式成立，即，則當n=k+1時，有：

   

   

即，因此n=k+1時等式也成立

由①和②，可知對任意，成立.

 

已知a＞0，函數(shù)f(x)=+lnx

(Ⅰ)試問f(x)在[1，+∞)上能否是單調遞減函數(shù)?請說明理由.

(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間[1，+∞)上是單調遞增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍.

(Ⅲ)當a=1時，設數(shù)列{}的前n項和為S_n，求證：S_n-1＜f(n)＜S_n-1(n∈N^*且n≥2).

已知{a_n}是公差d大于零的等差數(shù)列，對某個確定的正整數(shù)k，有a₁²+a_k+1²≤M（M是常數(shù)）．
（1）若數(shù)列{a_n}的各項均為正整數(shù)，a₁=2，當k=3時，M=100，寫出所有這樣數(shù)列的前4項；
（2）當k=5，M=100時，對給定的首項，若由已知條件該數(shù)列被唯一確定，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）記S_k=a₁+a₂+…+a_k，對于確定的常數(shù)d，當S_k取到最大值時，求數(shù)列{a_n}的首項．

（本小題滿分14分）

現(xiàn)有甲，乙，丙，丁四名籃球運動員進行傳球訓練，由甲開始傳球（即第一次傳球是由甲傳向乙或丙或�。�，記第次傳球球傳回到甲的不同傳球方式種數(shù)為.

（1）試寫出,并找出與（）的關系式；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）證明：當時, .