2．機(jī)械波的分類

機(jī)械波可分為橫波和縱波兩種。

(1)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向和波的傳播方向垂直的叫橫波，如：繩上波、水面波等。

(2)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向和波的傳播方向平行的叫縱波，如：彈簧上的疏密波、聲波等。

說(shuō)明：地震波既有橫波，也有縱波。

1．機(jī)械波的產(chǎn)生條件：①波源(機(jī)械振動(dòng))②傳播振動(dòng)的介質(zhì)(相鄰質(zhì)點(diǎn)間存在相互作用力)。

2．共振

當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率跟物體的固有頻率相等時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅最大，這種現(xiàn)象叫共振。

要求會(huì)用共振解釋現(xiàn)象，知道什么情況下要利用共振，什么情況下要防止共振。

(1)利用共振的有：共振篩、轉(zhuǎn)速計(jì)、微波爐、打夯機(jī)、跳板跳水、打秋千……

(2)防止共振的有：機(jī)床底座、航海、軍隊(duì)過(guò)橋、高層建筑、火車車廂……

[例11] 把一個(gè)篩子用四根彈簧支起來(lái)，篩子上裝一個(gè)電動(dòng)偏心輪，它每轉(zhuǎn)一周，給篩子一個(gè)驅(qū)動(dòng)力，這就做成了一個(gè)共振篩。不開(kāi)電動(dòng)機(jī)讓這個(gè)篩子自由振動(dòng)時(shí)，完成20次全振動(dòng)用15s；在某電壓下，電動(dòng)偏心輪的轉(zhuǎn)速是88r/min。已知增大電動(dòng)偏心輪的電壓可以使其轉(zhuǎn)速提高，而增加篩子的總質(zhì)量可以增大篩子的固有周期。為使共振篩的振幅增大，以下做法正確的是

A．降低輸入電壓　　　　　　　 B．提高輸入電壓

C．增加篩子質(zhì)量　 　　　　　　D．減小篩子質(zhì)量

解析：篩子的固有頻率為f_固=4/3Hz，而當(dāng)時(shí)的驅(qū)動(dòng)力頻率為f_驅(qū)=88/60Hz，即f_固< f_驅(qū)。為了達(dá)到振幅增大，應(yīng)該減小這兩個(gè)頻率差，所以應(yīng)該增大固有頻率或減小驅(qū)動(dòng)力頻率。本題應(yīng)選AD。

[例12]　 一物體做受迫振動(dòng)，驅(qū)動(dòng)力的頻率小于該物體的固有頻率。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率逐漸增大時(shí)，該物體的振幅將：( )

A．逐漸增大

B．先逐漸減小后逐漸增大；　

C．逐漸減小

D．先逐漸增大后逐漸減小

解析：此題可以由受迫振動(dòng)的共振曲線圖來(lái)判斷。

受迫振動(dòng)中物體振幅的大小和驅(qū)動(dòng)力頻率與系統(tǒng)固有頻率之差有關(guān)。驅(qū)動(dòng)力的頻率越接近系統(tǒng)的固有頻率，驅(qū)動(dòng)力與固有頻率的差值越小，作受迫振動(dòng)的振子的振幅就越大。當(dāng)外加驅(qū)動(dòng)力頻率等于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，振動(dòng)物體發(fā)生共振，振幅最大�！� 由共振曲線可以看出，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率小于該物體的固有頻率時(shí)，增大驅(qū)動(dòng)力頻率，振幅增大，直到驅(qū)動(dòng)力頻率等于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，振動(dòng)物體發(fā)生共振，振幅最大。在此之后若再增大驅(qū)動(dòng)力頻率，則振動(dòng)物體的振幅減小。

所以本題的正確答案為D。

[例13]如圖所示，在一根張緊的水平繩上，懸掛有 a、b、c、d、e五個(gè)單擺，讓a擺略偏離平衡位置后無(wú)初速釋放，在垂直紙面的平面內(nèi)振動(dòng)；接著其余各擺也開(kāi)始振動(dòng)。下列說(shuō)法中正確的有：( )

A．各擺的振動(dòng)周期與a擺相同

B．各擺的振幅大小不同，c擺的振幅最大

C．各擺的振動(dòng)周期不同，c擺的周期最長(zhǎng)

D．各擺均做自由振動(dòng)

解析：a擺做的是自由振動(dòng)，周期就等于a擺的固有周期，其余各擺均做受迫振動(dòng)，所以振動(dòng)周期均與a擺相同。 　c擺與a擺的擺長(zhǎng)相同，所以c擺所受驅(qū)動(dòng)力的頻率與其固有頻率相等，這樣c擺產(chǎn)生共振，故c擺的振幅最大。

此題正確答案為A、B。

1．受迫振動(dòng)

物體在驅(qū)動(dòng)力(既周期性外力)作用下的振動(dòng)叫受迫振動(dòng)。

⑴物體做受迫振動(dòng)的頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率，與物體的固有頻率無(wú)關(guān)。

⑵物體做受迫振動(dòng)的振幅由驅(qū)動(dòng)力頻率和物體的固有頻率共同決定：兩者越接近，受迫振動(dòng)的振幅越大，兩者相差越大受迫振動(dòng)的振幅越小。

3．圖象的用途：從圖象中可以知道：

(1)任一個(gè)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移　　 (2)振幅A．　 (3)周期T

(4)速度方向：由圖線隨時(shí)間的延伸就可以直接看出

(5)加速度：加速度與位移的大小成正比，而方向總與位移方向相反．只要從振動(dòng)圖象中認(rèn)清位移(大小和方向)隨時(shí)間變化的規(guī)律，加速度隨時(shí)間變化的情況就迎刃而解了

點(diǎn)評(píng)：關(guān)于振動(dòng)圖象的討論

(1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象不是振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡．做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡是質(zhì)點(diǎn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的那一段線段(如彈簧振子)或那一段圓弧(如下一節(jié)的單擺)．這種往復(fù)運(yùn)動(dòng)的位移圖象。就是以x軸上縱坐標(biāo)的數(shù)值表示質(zhì)點(diǎn)對(duì)平衡位置的位移。以t軸橫坐標(biāo)數(shù)值表示各個(gè)時(shí)刻，這樣在x-t坐標(biāo)系內(nèi)，可以找到各個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)位移坐標(biāo)的點(diǎn)，即位移隨時(shí)間分布的情況--振動(dòng)圖象．

(2)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性，體現(xiàn)在振動(dòng)圖象上是曲線的重復(fù)性． 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種復(fù)雜的非勻變速運(yùn)動(dòng)．但運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)具有簡(jiǎn)單的周期性、重復(fù)性、對(duì)稱性．所以用圖象研究要比用方程要直觀、簡(jiǎn)便．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象隨時(shí)間的增加將逐漸延伸，過(guò)去時(shí)刻的圖形將永遠(yuǎn)不變，任一時(shí)刻圖線上過(guò)該點(diǎn)切線的斜率數(shù)值代表該時(shí)刻振子的速度大小。正負(fù)表示速度的方向，正時(shí)沿x正向，負(fù)時(shí)沿x負(fù)向．

[例9]　 勁度系數(shù)為20N／cm的彈簧振子，它的振動(dòng)圖象如圖所示，在圖中A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻

A． 振子所受的彈力大小為0．5N，方向指向x軸的負(fù)方向

B．振子的速度方向指向x軸的正方向

C． 在0-4s內(nèi)振子作了1．75次全振動(dòng)

D。在0-4s內(nèi)振子通過(guò)的路程為0．35cm，位移為0

解析：由圖可知A在t軸上方，位移x＝0．25cm，所以彈力F＝－kx＝－5N，即彈力大小為5N，方向指向x軸負(fù)方向，選項(xiàng)A不正確；由圖可知過(guò)A點(diǎn)作圖線的切線，該切線與x軸的正方向的夾角小于90°，切線斜率為正值，即振子的速度方向指向x軸的正方向，選項(xiàng)B正確．　 由圖可看出，t＝0、t＝4s時(shí)刻振子的位移都是最大，且都在t軸的上方，在0-4s內(nèi)完成兩次全振動(dòng)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．由于t＝0時(shí)刻和t＝4s時(shí)刻振子都在最大位移處，所以在0-4s內(nèi)振子的位移為零，又由于振幅為0．5cm，在0-4s內(nèi)振子完成了2次全振動(dòng)，所以在這段時(shí)間內(nèi)振子通過(guò)的路程為2×4×0．50cm＝4cm，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

綜上所述，該題的正確選項(xiàng)為B．

[例10]　 擺長(zhǎng)為L的單擺做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，若從某時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)，(取作t=0)，當(dāng)振動(dòng)至 時(shí)，擺球具有負(fù)向最大速度，則單擺的振動(dòng)圖象是圖中的(　 )　

　解析：從t=0時(shí)經(jīng)過(guò)時(shí)間，這段時(shí)間為，經(jīng)過(guò) 擺球具有負(fù)向最大速度，說(shuō)明擺球在平衡位置，在給出的四個(gè)圖象中，經(jīng)過(guò)具有最大速度的有C、D兩圖，而具有負(fù)向最大速度的只有D。所以選項(xiàng)D正確。

2．振動(dòng)圖象的含義：振動(dòng)圖象表示了振動(dòng)物體的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律．

1．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象：以橫軸表示時(shí)間t，以縱軸表示位移x，建立坐標(biāo)系，畫出的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移--時(shí)間圖象都是正弦或余弦曲線．

2．單擺。

(1)單擺振動(dòng)的回復(fù)力是重力的切向分力，不能說(shuō)成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回復(fù)力是零，但合力是向心力，指向懸點(diǎn)，不為零。

(2)當(dāng)單擺的擺角很小時(shí)(小于5°)時(shí)，單擺的周期，與擺球質(zhì)量m、振幅A都無(wú)關(guān)。其中l為擺長(zhǎng)，表示從懸點(diǎn)到擺球質(zhì)心的距離，要區(qū)分?jǐn)[長(zhǎng)和擺線長(zhǎng)。

(3)小球在光滑圓弧上的往復(fù)滾動(dòng)，和單擺完全等同。只要擺角足夠小，這個(gè)振動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。這時(shí)周期公式中的l應(yīng)該是圓弧半徑R和小球半徑r的差。

(4)擺鐘問(wèn)題。單擺的一個(gè)重要應(yīng)用就是利用單擺振動(dòng)的等時(shí)性制成擺鐘。在計(jì)算擺鐘類的問(wèn)題時(shí)，利用以下方法比較簡(jiǎn)單：在一定時(shí)間內(nèi)，擺鐘走過(guò)的格子數(shù)n與頻率f成正比(n可以是分鐘數(shù)，也可以是秒數(shù)、小時(shí)數(shù)……)，再由頻率公式可以得到：

[例6] 已知單擺擺長(zhǎng)為L，懸點(diǎn)正下方3L/4處有一個(gè)釘子。讓擺球做小角度擺動(dòng)，其周期將是多大？

解析：該擺在通過(guò)懸點(diǎn)的豎直線兩邊的運(yùn)動(dòng)都可以看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期分別為和，因此該擺的周期為 ：

[例7] 固定圓弧軌道弧AB所含度數(shù)小于5°，末端切線水平。兩個(gè)相同的小球a、b分別從軌道的頂端和正中由靜止開(kāi)始下滑，比較它們到達(dá)軌道底端所用的時(shí)間和動(dòng)能：t_a＿＿t_b，E_a＿＿2E_b。

解析：兩小球的運(yùn)動(dòng)都可看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的一部分，時(shí)間都等于四分之一周期，而周期與振幅無(wú)關(guān)，所以t_a= t_b；從圖中可以看出b小球的下落高度小于a小球下落高度的一半，所以E_a>2E_b。

[例8] 將一個(gè)力電傳感器接到計(jì)算機(jī)上，可以測(cè)量快速變化的力。用這種方法測(cè)得的某單擺擺動(dòng)過(guò)程中懸線上拉力大小隨時(shí)間變化的曲線如右圖所示。由此圖線提供的信息做出下列判斷：①t＝0．2s時(shí)刻擺球正經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)；②t＝1．1s時(shí)擺球正處于最高點(diǎn)；③擺球擺動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能時(shí)而增大時(shí)而減小；④擺球擺動(dòng)的周期約是T＝0．6s。上述判斷中正確的是　 　　　

A．①③　　 B．②④　 　 C．①②　　 D．③④

解析：注意這是懸線上的拉力圖象，而不是振動(dòng)圖象。當(dāng)擺球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，懸線上的拉力最��；當(dāng)擺球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，懸線上的拉力最大。因此①②正確。從圖象中看出擺球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的拉力一次比一次小，說(shuō)明速率一次比一次小，反映出振動(dòng)過(guò)程擺球一定受到阻力作用，因此機(jī)械能應(yīng)該一直減小。在一個(gè)周期內(nèi)，擺球應(yīng)該經(jīng)過(guò)兩次最高點(diǎn)，兩次最低點(diǎn)，因此周期應(yīng)該約是T＝1．2s。因此答案③④錯(cuò)誤。本題應(yīng)選C。

1．彈簧振子

(1)周期，與振幅無(wú)關(guān)，只由振子質(zhì)量和彈簧的勁度決定。

(2)可以證明，豎直放置的彈簧振子的振動(dòng)也是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期公式也是。這個(gè)結(jié)論可以直接使用。

(3)在水平方向上振動(dòng)的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧的彈力；在豎直方向上振動(dòng)的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧彈力和重力的合力。

[例1] 有一彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則　 (　　 )

A．加速度最大時(shí)，速度最大　 B．速度最大時(shí)，位移最大

C．位移最大時(shí)，回復(fù)力最大　 D．回復(fù)力最大時(shí)，加速度最大

解析：振子加速度最大時(shí)，處在最大位移處，此時(shí)振子的速度為零，由F= - kx知道，此時(shí)振子所受回復(fù)力最大，所以選項(xiàng)A錯(cuò)，C、D對(duì)．振子速度最大時(shí)，是經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，此時(shí)位移為零，所以選項(xiàng)B錯(cuò)．故正確選項(xiàng)為C、D

點(diǎn)評(píng)：分析振動(dòng)過(guò)程中各物理量如何變化時(shí)，一定要以位移為橋梁理清各物理量間的關(guān)系：位移增大時(shí)，回復(fù)力、加速度、勢(shì)能均增大，速度、動(dòng)量、動(dòng)能均減小；位移減小時(shí)，回復(fù)力、加速度、勢(shì)能均減小，速度、動(dòng)量、動(dòng)能均增大．各矢量均在其值為零時(shí)改變方向，如速度、動(dòng)量均在最大位移處改變方向，位移、回復(fù)力、加速度均在平衡位置改變方向．

[例2]　 試證明豎直方向的彈簧振子的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．

解析：如圖所示，設(shè)振子的平衡位置為O，向下方向?yàn)檎�方向，此時(shí)彈簧的形變?yōu)?sub> ，根據(jù)胡克定律及平衡條件有

　　 ①

當(dāng)振子向下偏離平衡位置為時(shí)，回復(fù)力(即合外力)為

　　 ②

將①代人②得：，可見(jiàn)，重物振動(dòng)時(shí)的受力符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件．

點(diǎn)評(píng)：(1)分析一個(gè)振動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是判斷它的回復(fù)力是否滿足其大小與位移成正比，方向總與位移方向相反．證明思路為：確定物體靜止時(shí)的位置--即為平衡位置，考查振動(dòng)物體在任一點(diǎn)受到回復(fù)力的特點(diǎn)是否滿足。(2)還要知道中的k是個(gè)比例系數(shù)，是由振動(dòng)系統(tǒng)本身決定的，不僅僅是指彈簧的勁度系數(shù)．關(guān)于這點(diǎn)，在這里應(yīng)理解為是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)回復(fù)力的定義式．而且產(chǎn)生簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力可以是一個(gè)力，也可以是某個(gè)力的分力或幾個(gè)力的合力．此題中的回復(fù)力為彈力和重力的合力．

[例3] 如圖所示，質(zhì)量為m的小球放在勁度為k的輕彈簧上，使小球上下振動(dòng)而又始終未脫離彈簧。(1)最大振幅A是多大？(2)在這個(gè)振幅下彈簧對(duì)小球的最大彈力F_m是多大？

解析：該振動(dòng)的回復(fù)力是彈簧彈力和重力的合力。在平衡位置彈力和重力等大反向，合力為零；在平衡位置以下，彈力大于重力，F- mg=ma，越往下彈力越大；在平衡位置以上，彈力小于重力，mg-F=ma，越往上彈力越小。平衡位置和振動(dòng)的振幅大小無(wú)關(guān)。因此振幅越大，在最高點(diǎn)處小球所受的彈力越小。極端情況是在最高點(diǎn)處小球剛好未離開(kāi)彈簧，彈力為零，合力就是重力。這時(shí)彈簧恰好為原長(zhǎng)。

(1)最大振幅應(yīng)滿足kA=mg，　 A=

(2)小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)所受回復(fù)力大小相同，所以有：F_m-mg=mg，F_m=2mg

[例4]彈簧振子以O點(diǎn)為平衡位置在B、C兩點(diǎn)之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．B、C相距20 cm．某時(shí)刻振子處于B點(diǎn)．經(jīng)過(guò)0.5 s，振子首次到達(dá)C點(diǎn)．求：

(1)振動(dòng)的周期和頻率；

(2)振子在5 s內(nèi)通過(guò)的路程及位移大小；

(3)振子在B點(diǎn)的加速度大小跟它距O點(diǎn)4 cm處P點(diǎn)的加速度大小的比值．

解析：(1)設(shè)振幅為A，由題意BC＝2A＝10 cm，所以A＝10 cm．振子從B到C所用時(shí)間t＝0．5s．為周期T的一半，所以T＝1．0s；f＝1/T＝1．0Hz．

(2)振子在1個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的路程為4A。故在t＝5s＝5T內(nèi)通過(guò)的路程s＝t/T×4A＝200cm．5 s內(nèi)振子振動(dòng)了5個(gè)周期，5s末振子仍處在B點(diǎn)，所以它偏離平衡位置的位移大小為10cm．

(3)振子加速度．a∝x，所以a_B：a_P＝x_B：x_p＝10：4＝5：2．

[例5]一彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．周期為T

A．若t時(shí)刻和(t+△t)時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)速度的大小相等、方向相反，則Δt一定等于T/2的整數(shù)倍

D．若t時(shí)刻和(t+△t)時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)位移的大小相等、方向相同，則△t一定等于T的整數(shù)倍

C．若△t＝T／2，則在t時(shí)刻和(t－△t)時(shí)刻彈簧的長(zhǎng)度一定相等

D．若△t＝T，則在t時(shí)刻和(t－△t)時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)的加速度一定相同

解析：若△t＝T／2或△t＝nT－T/2，(n＝1，2，3．．．．)，則在t 和(t+△t)兩時(shí)刻振子必在關(guān)于干衡位置對(duì)稱的兩位置(包括平衡位置)，這兩時(shí)刻．振子的位移、回復(fù)力、加速度、速度等均大小相等，方向相反．但在這兩時(shí)刻彈簧的長(zhǎng)度并不一定相等(只有當(dāng)振子在t和(t－△t)兩時(shí)刻均在平衡位置時(shí)，彈簧長(zhǎng)度才相等)．反過(guò)來(lái)．若在t和(t－△t)，兩時(shí)刻振子的位移(回復(fù)力、加速度)和速度(動(dòng)量)均大小相等．方向相反，則△t一定等于△t＝T／2的奇數(shù)倍．即△t＝(2n－1)T/2(n＝1，2，3…)．如果僅僅是振子的速度在t 和(t+△t)，兩時(shí)刻大小相等方向相反，那么不能得出△t＝(2n一1)T/2，更不能得出△t＝nT/2(n＝1，2，3…)．根據(jù)以上分析．A、C選項(xiàng)均錯(cuò)．

若t和(t+△t)時(shí)刻，振子的位移(回復(fù)力、加速度)、速度(動(dòng)量)等均相同，則△t＝nT(n＝1，2，，3…)，但僅僅根據(jù)兩時(shí)刻振子的位移相同，不能得出△t＝nT．所以B這項(xiàng)錯(cuò)．若△t＝T，在t和(t+△t)兩時(shí)刻，振子的位移、回復(fù)力、加速度、速度等均大　 小相等方向相同，D選項(xiàng)正確。

3．從總體上描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量

振動(dòng)的最大特點(diǎn)是往復(fù)性或者說(shuō)是周期性。因此振動(dòng)物體在空間的運(yùn)動(dòng)有一定的范圍，用振幅A來(lái)描述；在時(shí)間上則用周期T來(lái)描述完成一次全振動(dòng)所須的時(shí)間。

(1)振幅A是描述振動(dòng)強(qiáng)弱的物理量。(一定要將振幅跟位移相區(qū)別，在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)過(guò)程中，振幅是不變的而位移是時(shí)刻在改變的)

(2)周期T是描述振動(dòng)快慢的物理量。(頻率f=1/T 也是描述振動(dòng)快慢的物理量)周期由振動(dòng)系統(tǒng)本身的因素決定，叫固有周期。任何簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)都有共同的周期公式：(其中m是振動(dòng)物體的質(zhì)量，k是回復(fù)力系數(shù)，即簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的判定式F= -kx中的比例系數(shù)，對(duì)于彈簧振子k就是彈簧的勁度，對(duì)其它簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)它就不再是彈簧的勁度了)。