隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母、等表示

離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量

若是隨機變量，，其中、是常數(shù)，則也是隨機變量

連續(xù)型隨機變量: 對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量

離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結果不可以一一列出

離散型隨機變量的分布列:設離散型隨機變量可能取的值為、、…、、…

　 取每一個值的概率為，則稱表

			…		…
			…		…

為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列

離散型隨機變量分布列的兩個性質：任何隨機事件發(fā)生的概率都滿足:≤≤，并且不可能事件的概率為，必然事件的概率為．由此你可以得出離散型隨機變量的分布列都具有下面兩個性質：≥，…；…

對于離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率的和.即≥

離散型隨機變量的二項分布:在一次隨機試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在次獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)是一個隨機變量．如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率是

，(…， )

于是得到隨機變量的概率分布如下：

			…		…
			…		…

由于恰好是二項展開式

中的各項的值，所以稱這樣的隨機變量服從二項分布，

記作，其中，為參數(shù)，并記＝．…

離散型隨機變量的幾何分布：在獨立重復試驗中，某事件第一次發(fā)生時，所作試驗的次數(shù)也是一個正整數(shù)的離散型隨機變量．“”表示在第次獨立重復試驗時事件第一次發(fā)生.如果把次試驗時事件發(fā)生記為、事件不發(fā)生記為，， ，那么

…，

于是得到隨機變量的概率分布如下：

				…		…
				…		…

稱這樣的隨機變量服從幾何分布，

記作 ，其中…，

求離散型隨機變量分布列的步驟：要確定隨機變量的可能取值有哪些.明確取每個值所表示的意義；分清概率類型，計算取得每一個值時的概率(取球、抽取產品等問題還要注意是放回抽樣還是不放回抽樣；列表對應，給出分布列，并用分布列的性質驗證.

幾種常見的分布列的求法：取球、投骰子、抽取產品等問題的概率分布，關鍵是概率的計算.所用方法主要有劃歸法、數(shù)形結合法、對應法等對于取球、抽取產品等問題，還要注意是放回抽樣還是不放回抽樣.射擊問題：若是一人連續(xù)射擊，且限制在次射擊中發(fā)生次，則往往與二項分布聯(lián)系起來；若是首次命中所需射擊的次數(shù)，則它服從幾何分布，若是多人射擊問題，一般利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率進行計算.

對于有些問題，它的隨機變量的選取與所問問題的關系不是很清楚，此時要仔細審題，明確題中的含義，恰當?shù)剡x取隨機變量，構造模型，進行求解.

(浙江文)甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為“局勝”，即以先贏局者為勝，根據(jù)經驗，每局比賽中甲獲勝的概率為，則本次比賽甲獲勝的概率是　　　　　　 　 　　　 　　　 　　　　

(遼寧)甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是，乙解決這個問題的概率是，那么恰好有人解決這個問題的概率是

(湖北)某籃運動員在三分線投球的命中率是，他投球次，恰好投進個球的概率　　　　　　　 (用數(shù)值作答)

(湖北文)接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應的概率為，現(xiàn)有人接種了該疫苗，至少有人出現(xiàn)發(fā)熱反應的概率為 　　　　　　　(精確到)

(湖南文)某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓，已知參加過財會培訓的有，參加過計算機培訓的有，假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響．

任選名下崗人員，求該人參加過培訓的概率；

任選名下崗人員，求這人中至少有人參加過培養(yǎng)的概率．

(重慶文)甲、乙、丙三人在同一辦公室工作。辦公室只有一部電話機，設經過該機打進的電話是打給甲、乙、丙的概率依次為、、.若在一段時間內打進三個電話，且各個電話相互獨立.求：這三個電話是打給同一個人的概率；這三個電話中恰有兩個是打給甲的概率；

問題1．(陜西文)甲、乙、丙人投籃，投進的概率分別是，，．現(xiàn)人各投籃次，求：人都投進的概率；人中恰有人投進的概率．

問題2．(北京文)甲、乙兩人各進行次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率，　 甲恰好擊中目標的次的概率；　 乙至少擊中目標次的概率；求乙恰好比甲多擊中目標次的概率．

問題3．(重慶文)設甲、乙兩人每次射擊命中目標的概率分別為和，且各次射擊相互獨立．若甲、乙各射擊一次，求甲命中但乙未命中目標的概率；

若甲、乙各射擊兩次，求兩人命中目標的次數(shù)相等的概率．

相互獨立事件：事件(或)是否發(fā)生對事件(或)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.

若與是相互獨立事件，則與，與，與也相互獨立.

互斥事件與相互獨立事件是有區(qū)別的：

兩事件互斥是指同一次試驗中兩事件不能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指不同試驗下，二者互不影響；兩個相互獨立事件不一定互斥，即可能同時發(fā)生，而互斥事件不可能同時發(fā)生.

相互獨立事件同時發(fā)生的概率：

事件相互獨立， .

獨立重復試驗的定義：在同樣條件下進行的各次之間相互獨立的一種試驗.

關于相互獨立事件也要抓住以下特征加以理解：

第一，相互獨立也是研究兩個事件的關系；第二，所研究的兩個事件是在兩次試驗中得到的；第三，兩個事件相互獨立是從“一個事件的發(fā)生對另一個事件的發(fā)生的概率沒有影響”來確定的.

獨立重復試驗的概率公式：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是,那么在次獨立重復試驗中這個事恰好發(fā)生次的概率 表示事件在次獨立重復試驗中恰好發(fā)生了次的概率

關于獨立重復試驗要從三個方面理解：

第一：每次實驗都在同樣條件下進行；第二：各次實驗中的事件是相互獨立的；第三：每次實驗只有兩種結果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，它與實驗的序號無關.

(重慶文)若把鑰匙中只有把能打開某鎖，則從中任取把能將該鎖打開的概率為　　　　

(四川) 從到這個數(shù)字中任取個數(shù)字組成一個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，

這個數(shù)不能被整除的概率為　　　　 　　　　　　

(浙江)甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有個紅球，個白球；乙袋裝有個紅球，個白球.兩甲，乙兩袋中各任取個球.

若，求取到的個球全是紅球的概率；

若取到的個球中至少有個紅球的概率為，求.

袋中有個編號為，…，的小球，從中任意隨機取出個，求至少有個編號為奇數(shù)的概率；同時擲枚骰子時，求出現(xiàn)的點數(shù)的和是的倍數(shù)的概率.

問題1．從裝有個紅球和各白球的口袋中任取兩個球，那么下列事件中互斥事件的個數(shù)是　　　　 個　　　 個　　 個　　　　 個

①至少有個白球，都是白球；②至少有個白球，至少有個紅球；

③恰有個白球，恰有個白球；④至少有個白球，都是紅球.

將一枚骰子向上拋擲一次，設事件表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點，事件表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不超過，事件表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不少于，則

與是互斥而非對立事件　　　　 與是對立事件

　與互斥而非對立事件　　　　 與與是對立事件

問題2．從分別寫有的六件卡片中，任取三張并組成三位數(shù)，計算：

①這個三位數(shù)是偶數(shù)的概率；②這個三位數(shù)能被三整除的概率；③這個三位數(shù)比小的概率.

(天津)已知甲盒內有大小相同的個紅球和個黑球，乙盒內有大小相同的個紅球和個黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個盒內各任取個球．

①略；②求取出的個球中恰有個紅球的概率；③略．

(重慶)從張元，張元，張元的奧運預賽門票中任取張，則所取張中至少有張價格相同的概率為

問題3．從男女生共有人的班中，選出兩名代表，每人當選的機會均等，如果選的同性代表的概率是，求該班中男女相差幾名？

問題4．(全國Ⅱ文)從某批產品中，有放回地抽取產品二次，每次隨機抽取件，假設事件：“取出的件產品中至多有件是二等品”的概率．

求從該批產品中任取件是二等品的概率；

若該批產品共件，從中任意抽取件，求事件：“取出的件產品中至少有一件二等品”的概率．

互斥事件的概念:不可能同時發(fā)生的個事件叫做互斥事件.、互斥，即事件、不可能同時發(fā)生，這時，

一般地：如果事件中的任何兩個都是互斥的，那么就說事件彼此互斥.

對立事件的概念:事件和事件必有一個發(fā)生的互斥事件 、對立，即事件、不可能同時發(fā)生，但、中必然有一個發(fā)生這時，

　，一般地,.

對于互斥事件要抓住如下的特征進行理解：

第一，互斥事件研究的是兩個事件之間的關系;第二，所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的;第三，兩個事件互斥是從試驗的結果不能同時出現(xiàn)來確定的.

從集合角度來看，、兩個事件互斥，則表示、這兩個事件所含結果組成的集合的交集是空集.

對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生的兩個事件，集合的對立事件記作，從集合的角度來看，事件所含結果的集合正是全集中由事件所含結果組成集合的補集，即,。對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件.

當和互斥時，事件的概率滿足加法公式：

(、互斥)當計算事件的概率比較困難時，有時計算它的對立事件的概率則要容易些，為此有.

互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥，那么

＝.

分類討論思想：分類討論思想是解決互斥事件有一個發(fā)生的概率的一個重要的指導思想.

(福建)在一個口袋中裝有個白球和個黑球，這些球除顏色外完全相同.從中摸出個球，至少摸到個黑球的概率等于　　　

(上海)兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷本，共本．將它們任意地排成一排，左邊本恰好都屬于同一部小說的概率是　　　　 (結果用分數(shù)表示)．

(重慶)某輕軌列車有節(jié)車廂，現(xiàn)有位乘客準備乘坐，設每一位乘客進入每節(jié)車廂是等可能的，則這位乘客進入各節(jié)車廂的人數(shù)恰好為的概率為　　　　　

(湖北)以平行六面體的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面的概率為

(江西文)栽培甲、乙兩種果樹，先要培育成苗，然后再進行移栽．已知甲、乙兩種果樹成苗的概率分別為，，移栽后成活的概率分別為，．

求甲、乙兩種果樹至少有一種果樹成苗的概率；

求恰好有一種果樹能培育成苗且移栽成活的概率．

(北京文)某條公共汽車線路沿線共有個車站(包括起點站和終點站)，在起點站開出的一輛公共汽車上有位乘客，假設每位乘客在起點站之外的各個車站下車是等可能的．求：

這位乘客在其不相同的車站下車的概率；

這位乘客中恰有人在終點站下車的概率；

(屆高三成都名校聯(lián)盟預測二)從單詞“”中選取個不同的字母排成

一排，則含“”(“”相連且順序不變)的概率為

從分別寫有的五張卡片里任取兩張，這兩張卡片里的字母恰好是按照字母順序相鄰排列的概率等于　　 　　　　　　

兩位同學去某大學參加自主招生考試，根據(jù)　

右圖學校負責人與他們兩人的對話，可推斷

出參加考試的人數(shù)為