Question

有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號(hào)，它們是1號(hào)到15號(hào).1號(hào)同學(xué)寫了一個(gè)自然數(shù)，2號(hào)說(shuō)：“這個(gè)數(shù)能被2整除”，3號(hào)說(shuō)：“這個(gè)數(shù)能被3整除”，…，依次下去．每位同學(xué)都說(shuō)，這個(gè)數(shù)能被他的編號(hào)數(shù)整除.1號(hào)作了一一驗(yàn)證，只有編號(hào)連續(xù)的兩位同學(xué)說(shuō)得不對(duì)，其余同學(xué)都對(duì)，如果告訴你，1號(hào)寫的數(shù)是六位數(shù)，那么這個(gè)數(shù)至少是多少？

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)數(shù)的整除特征，找出兩位同學(xué)說(shuō)得不對(duì)，他們的編號(hào)是多少；
（2）然后算出剩余編號(hào)數(shù)的最小公倍數(shù)是多少，最后推導(dǎo)出這個(gè)六位數(shù)是多少．

解答：解：（1）首先可以斷定編號(hào)是2，3，4，5，6，7號(hào)的同學(xué)說(shuō)的一定都對(duì)．不然，其中說(shuō)的不對(duì)的編號(hào)乘以2后所得編號(hào)也將說(shuō)得不對(duì)，這樣就與“只有編號(hào)相鄰的兩位同學(xué)說(shuō)的不對(duì)”不符合．因此，這個(gè)數(shù)能被2，3，4，5，6，7整除．
其次利用整除性質(zhì)可知，這個(gè)數(shù)也能被2×5，3×4，2×7都整除，即編號(hào)為10，12，14的同學(xué)說(shuō)的也對(duì)．從而可以斷定說(shuō)的不對(duì)的編號(hào)只能是8和9．
（2）這個(gè)數(shù)是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍數(shù)，
由于上述十二個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是[2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15]=2²×3×5×7×11×13=60060．
設(shè)1號(hào)寫的數(shù)為60060k（k為整數(shù)），這個(gè)數(shù)是六位數(shù)，所以k≥2．
若k=2，則60060k能被8整除，不合題意，所以k≠2，同理k≠3，k≠4．
因?yàn)閗的最小值為5，所以這個(gè)數(shù)至少是60060×5=300300．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于數(shù)字問(wèn)題，考查了數(shù)的整除特征，有一定難度，要認(rèn)真加以分析，一步步推導(dǎo)，從而解決問(wèn)題．