Question

11．如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O與斜邊AC交于點D，E為BC邊的中點，連接DE，OE．
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）填空：
①當∠CAB=45°時，四邊形AOED是平行四邊形；
②連接OD，在①的條件下探索四邊形OBED的形狀為正方形．

Answer 1

分析 （1）連接OD后，證明△DOE≌△BOE后，可得∠OBE=∠ODE=90°，所以DE是⊙O的切線；
（2）①由（1）可知：∠ODE=90°，要使四邊形AOED是平行四邊形，即需要DE∥AO，所以需要∠AOD=90°，又因為OA=OD，所以∠CAB=45°；
②由①可知：四邊形OBED是矩形，又因為OD=OB，所以四邊形OBED是正方形．

解答 解：（1）連接OD，
∵E是BC的中點，
O是AB的中點，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE∥AC，
∠BOE=∠BAC，
∠DOE=∠ADO，
∵OD=OA，
∴∠BAC=∠ADO，
∴∠BOE=∠DOE，
在△DOE與△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠DOE=∠BOE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△BOE，
∴∠OBE=∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切線；

（2）①當∠CAB=45°時，
∴∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
又∵∠EDO=90°，
∴DE∥AB，
∵OE∥AC，
∴四邊形AOED是平行四邊形；

②由①可知：∠EDO=∠DOB=∠ABC=90°，
∴四邊形OBED是矩形，
∵OD=OB，
∴矩形OBED是正方形．
故答案為：①45°；②正方形．

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，平行四邊形的判定，正方形的判定等知識，考查學生靈活運用知識的能力．