Question

16．如圖，已知直線y=ax+b與雙曲線$y=\frac{k}{x}$（x＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點（A與B不重合），直線AB與x軸交于P（x₀，0），與y軸交于點C．
（1）若A，B兩點坐標分別為（1，3），（3，y₂），求點P的坐標．
（2）若b=y₁+1，點P的坐標為（6，0），且AB=BP，求A，B兩點的坐標．
（3）結(jié)合（1），（2）中的結(jié)果，猜想并用等式表示x₁，x₂，x₀之間的關(guān)系（不要求證明）．

Answer 1

分析 （1）把A點坐標代入反比例函數(shù)解析式可求得k，進一步可求得B點坐標，再利用待定系數(shù)法可求得直線解析式，可求得P點坐標；
（2）過點A作AD∥x軸，交x軸于點D，利用△ACD∽△PCO，結(jié)合A、P、C的坐標可求得x₁、y₁之間的關(guān)系，結(jié)合AB=BP可表示出B點坐標，再結(jié)合A、B兩點都在反比例函數(shù)圖象上，可求得A、B兩點的坐標；
（3）結(jié)合（1）、（2）中的坐標可猜得結(jié)論．

解答 解：（1）∵點A（1，3）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=3，
∵點B（3，y₂）在y=$\frac{3}{x}$上，
∴y₂=1，即B點坐標為（3，1），
把A、B兩點坐標代入直線y=ax+b，
可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{3a+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+4，
當(dāng)y=0時，x=4，
∴P點坐標為（4，0）；
（2）如圖，過A作AD∥x軸，交y軸于點D，則AD⊥y軸，

∴△ACD∽△PCO，
∴$\frac{CD}{OC}$=$\frac{AD}{OP}$，
∵b=y₁+1，P（6，0），A（x₁，y₁），
∴CD=1，OC=y₁+1，AD=x₁，OP=6，
∴$\frac{1}{{y}_{1}+1}$=$\frac{{x}_{1}}{6}$，
∵AB=BP，A（x₁，y₁），
∴B為AP中點，且P為（6，0）
∴B點坐標為（$\frac{{x}_{1}+6}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$），
∵A、B兩點都在y=$\frac{k}{x}$上，
∴x₁•y₁=$\frac{{x}_{1}+6}{2}$•$\frac{{y}_{1}}{2}$，解得x₁=2，
∴$\frac{1}{{y}_{1}+1}$=$\frac{2}{6}$，解得y₁=2，
∴A（2，2），B（4，1）；
（3）猜想x₁，x₂，x₀之間的關(guān)系式為：x₁+x₂=x₀．
理由如下：
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a{x}_{1}+b={y}_{1}}\\{a{x}_{2}+b={y}_{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}}\\{b=-\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$x-$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
令y=0可得x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$，
∵x₁y₁=x₂y₂，
∴x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$=$\frac{（{y}_{2}-{y}_{1}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{2}-{y}_{1}}$=x₁+x₂，
即x₁+x₂=x₀．

點評 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點有待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、中點坐標公式及方程思想等．在（1）中求得B點的坐標是解題的關(guān)鍵，在（2）中用A、P兩點的坐標表示出P點的坐標是解題的關(guān)鍵，在（3）中觀察（1）（2）的結(jié)論即可得到．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．