Question

5．如圖，AD是等腰△ABC底邊上的高，E、F為AD上兩點(diǎn)，且∠ABE=∠EBF=∠FBC，連接CF并延長交AB于點(diǎn)G，求證：
（1）△GBF是等腰三角形；
（2）GE∥BF．

Answer 1

分析 （1）設(shè)∠ABE=∠EBF=∠FBC=x，得到∠GBF=2x，由AD是等腰三角形ABC底邊上的高，于是得到AD是等腰三角形ABC底邊上的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BF=CF，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠FCB=∠FBC=x，求得∠GFB=∠FCB+∠FBC=2x，推出∠GBF=∠GFB，于是求得結(jié)論；
（2）延長FD到H，使DH=DF，連接BH，CH，根據(jù)AD垂直平分BC，得到四邊形BFCH是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CF∥BH，求出BF=CF，推出?BFCH是菱形，求得BH=BF，∠HBF=2∠DBF=∠ABF，根據(jù)角平分線定理得到$\frac{AE}{EF}=\frac{AB}{BF}$，$\frac{AF}{FH}=\frac{AB}{BH}$，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{AF}{FH}=\frac{AG}{BG}$，等量代換得到$\frac{AE}{EF}=\frac{AG}{BG}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)∠ABE=∠EBF=∠FBC=x，
∴∠GBF=2x，
∵AD是等腰三角形ABC底邊上的高，
∴AD是等腰三角形ABC底邊上的垂直平分線，
∴BF=CF，
∴∠FCB=∠FBC=x，
∴∠GFB=∠FCB+∠FBC=2x，
∴∠GBF=∠GFB，
∴GB=GF，
∴△GBF為等腰三角形；
（2）延長FD到H，使DH=DF，連接BH，CH，
∵AD垂直平分BC，
∴四邊形BFCH是平行四邊形，
∴CF∥BH，
∵BF=CF，∴?BFCH是菱形，
∴BH=BF，∠HBF=2∠DBF=∠ABF，
∵BE平分∠ABF，
根據(jù)角平分線定理得：$\frac{AE}{EF}=\frac{AB}{BF}$，
∵BF平分∠ABH，
根據(jù)角平分線定理得：$\frac{AF}{FH}=\frac{AB}{BH}$，
∵GF∥BH，
∴$\frac{AF}{FH}=\frac{AG}{BG}$，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{AG}{BG}$，
∴GE∥BF．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，角平分線定理，平行線分線段成比例定理，掌握的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．