Question

16．如圖，Rt△ABC中，AC=4，AB=5，∠C=90°，經過點C且與邊AB相切的圓與△ABC的邊CB，CA分別相交于點E、F，線段EF長度的最小值為（　�。�

• A． 2.4
• B． 2
• C． 2.5
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 取EF的中點O，作OG⊥AB于G，CH⊥AB于H，連結OC，如圖，先利用勾股定理計算出BC=3，再利用面積法計算出CH=2.4，接著根據圓周角定理可判斷EF為經過點C且與邊AB相切的圓的直徑，點O為圓心，然后根據切線的性質得OG為⊙O的半徑，則EF=OC+OG，利用垂線段最短，當OC、OG共線時，OC+OG的值最小，最小值為CH的長，于是得到EF的最小值為2.4．

解答 解：取EF的中點O，作OG⊥AB于G，CH⊥AB于H，連結OC，如圖，
在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=5，∠C=90°，
∴BC=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵$\frac{1}{2}$CH•AB=$\frac{1}{2}$BC•AC，
∴CH=$\frac{3×4}{5}$=2.4，
∵∠ECF=90°，
∴EF為經過點C且與邊AB相切的圓的直徑，點O為圓心，
∵AB為⊙O的切線，
∴OG為⊙O的半徑，
∴EF=OC+OG，
當OC、OG共線時，OC+OG的值最小，最小值為CH的長，
∴EF的最小值為2.4．
故選A．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．