Question

1．要求tan45°的值，可構造直角三角形進行計算，如圖所示，作Rt△ABC，使∠C=90°，直角邊AC=BC=1，斜邊AB=$\sqrt{2}$．∠ABC=45°，所以tan45°=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{1}$=1．
（1）在此圖的基礎上，通過添加適當的輔助線，可求出tan22.5°的值．請簡要寫出你添加的輔助線，并求出tan22.5°的值；
（2）仿照（1）求出tan15°的值．

Answer 1

分析 （1）延長CA到D，使DA=AC，連結DB，如圖1，Rt△ABC，∠C=90°，AC=BC=1，AB=$\sqrt{2}$．∠ABC=45°，根據等腰三角形的性質和三角形外角性質可計算出∠D=22.5°，然后在Rt△BDC中，根據正切的定義可求出tan22.5°的值；
（2）Rt△ABC，∠C=90°，AC=$\sqrt{3}$，BC=1，AB=2，∠BAC=30°，延長CA到D，使AD=AB=2，根據等腰三角形的性質和三角形外角性質可計算出∠D=15°，然后在Rt△BDC中，根據正切的定義可求出tan15°的值．

解答 解：（1）延長CA到D，使DA=AC，連結DB，如圖1，
Rt△ABC，∠C=90°，AC=BC=1，AB=$\sqrt{2}$．∠ABC=45°，
∵AD=AB=$\sqrt{2}$，
∴∠D=∠ABD，
而∠BAC=∠D+∠ABD=45°，
∴∠D=22.5°，
在Rt△BDC中，tanD=$\frac{BC}{DC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1，
即tan22.5°=$\sqrt{2}$-1；
（2）Rt△ABC，∠C=90°，AC=$\sqrt{3}$，BC=1，AB=2，∠BAC=30°，延長CA到D，使AD=AB=2，
∵AD=AB=$\sqrt{2}$，
∴∠D=∠ABD，
而∠BAC=∠D+∠ABD=30°，
∴∠D=15°，
在Rt△BDC中，tanD=$\frac{BC}{DC}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$，
即tan15°=2-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．解決本題的關鍵是靈活運用勾股定理和銳角三角函數的定義．