Question

6．如圖，直線y=2x-6與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象交于點A（4，2），與x軸交于點B．
（1）求k的值及點B的坐標；
（2）當x-1＜x＜0或x＞4時，2x-6＞$\frac{k}{x}$（k＞0）；
（3）在x軸上是否存在點C，使得△ABC為等腰三角形，且AC=AB？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出k值，再令直線y=2x-6中y=0求出x的值，即可得出點B的坐標；
（2）聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式成方程組，求出另一交點坐標，補充完整函數(shù)圖象，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關系即可得出結論；
（3）假設存在，設點C的坐標為（m，0），由兩點間的距離公式分別表示出AB、AC的長度，令AC=AB，即可得出關于m的無理方程，解方程即可得出結論．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象過點A（4，2），
∴k=4×2=8，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{8}{x}$．
令y=2x-6中y=0，則2x-6=0，
解得：x=3，
∴點B的坐標為（3，0）．
（2）聯(lián)立兩函數(shù)的解析式成方程組，
得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{8}{x}}\\{y=2x-6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-8}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$．
補充完整函數(shù)圖象，如圖所示．

觀察兩函數(shù)圖象可發(fā)現(xiàn)：當-1＜x＜0或x＞4時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，
∴不等式2x-6＞$\frac{k}{x}$（k＞0）的解集為-1＜x＜0或x＞4．
故答案為：-1＜x＜0或x＞4．
（3）假設存在，設點C的坐標為（m，0），
則AB=$\sqrt{（4-3）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{（4-m）^{2}+（2-0）^{2}}$，BC=|m-3|．
∵△ABC為等腰三角形，且AC=AB，
∴$\sqrt{5}$=$\sqrt{（4-m）^{2}+（2-0）^{2}}$，即（4-m）²=1，
解得：m=5，或m=3（舍去），
∴點C的坐標為（5，0）．
故在x軸上存在點C，使得△ABC為等腰三角形，且AC=AB，點C的坐標為（5，0）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、反比例函數(shù)的圖象、兩點間的距離公式以及解無理方程，解題的關鍵是：（1）利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求出k值；（2）求出兩函數(shù)另一交點坐標；（3）得出關于m的方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出另一交點坐標，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關系解出不等式的解集是難點．