Question

【題目】定義：我們知道，四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似（不全等），我們就把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的“相似對(duì)角線”．

理解：（1）如圖1，已知Rt△ABC在正方形網(wǎng)格中，請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺在網(wǎng)格中找到一點(diǎn)D，使四邊形ABCD是以AC為“相似對(duì)角線”的四邊形（保留畫圖痕跡，找出3個(gè)即可）；

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，對(duì)角線BD平分∠ABC．求證：BD是四邊形ABCD的“相似對(duì)角線”．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理求出AB＝，BC＝2， AC＝5，分兩種情況討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

（2）通過(guò)證明△ABD∽△DBC，可得BD是四邊形ABCD的“相似對(duì)角線”．

解：（1）如圖1，

⊕

（1）由圖1知，AB＝，BC＝2，∠ABC＝90°，AC＝5，

∵四邊形ABCD是以AC為“相似對(duì)角線”的四邊形，

①當(dāng)∠ACD＝90°時(shí)，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，

∴＝或＝2，

∴CD＝10或CD＝2.5

同理：當(dāng)∠CAD＝90°時(shí)，AD＝2.5或AD＝10，

（2）證明：∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC＝40°，

∴∠A+∠ADB＝140°

∵∠ADC＝140°，

∴∠BDC+∠ADB＝140°，

∴∠A＝∠BDC，

∴△ABD∽△DBC，

∴BD是四邊形ABCD的“相似對(duì)角線”；