Question

11．已知：在?ABCD中，∠BAD=45°，AB=BD，E為BC上一點，連接AE交BD于F，過點D作DG⊥AE于G，延長DG交BC于H

（1）如圖1，若點E與點C重合，且AF=$\sqrt{5}$，求AD的長；
（2）如圖2，連接FH，求證：∠AFB=∠HFB；
（3）如圖3，連接AH交BF于M，當M為BF的中點時，請直接寫出AF與FH的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABD=90°，利用平行四邊形的性質(zhì)可得F為BD中點，在Rt△ABF中，由勾股定理可求得BF，則可求得AB，在Rt△ABD中，再利用勾股定理可求得AD；
（2）如圖2中，在AF上截取AK=HD，連接BK，可先證明△ABK≌△DBH，再證明△BFK≌△BFH，可證得結(jié)論；
（3）如圖3中，延長FH、AB交于點N，作BK∥AH交FN于K，首先證明FA=FN，再證明FH=HK=KN，即可解決問題．

解答 （1）解：如圖1中，∵AB=BD，∠BAD=45°，
∴∠BDA=∠BAD=45°，
∴∠ABD=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴E、C重合時BF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$AB，
在RT△ABF中，∵AF²=AB²+BF²，
∴（$\sqrt{5}$）²=（2BF）²+BF²，
∴BF=1，AB=2，
在RT△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
（2）證明：如圖2中，在AF上截取AK=HD，連接BK，
∵∠AFD=∠ABF+∠2=∠FGD+∠3，∠ABF=∠FGD=90°，
∴∠2=∠3，
在ABK和△DBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠2=∠3}\\{AK=HD}\end{array}\right.$，
∴△ABK≌△DBH，
∴BK=BH，∠6=∠1，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠4=∠1=∠6=45°，
∴∠5=∠ABD-∠6=45°，
∴∠5=∠1，
在△FBK和△FBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BF}\\{∠5=∠1}\\{BK=BH}\end{array}\right.$，
∴△FBK≌△FBH，
∴∠BFK=∠BFH．
（3）結(jié)論AF=3FH．
理由：如圖3中，延長FH、AB交于點N，作BK∥AH交FN于K．
∵∠AFB+∠BAF=90°，∠BFN+∠N=90°，∠BFN=∠BFA，
∴∠FAB=∠N，
∴FA=FN，
∵FB⊥AN，
∴AB=BN，
∵BK∥AH，
∴HK=KN，
∵FM=BM，MH∥BK，
∴FH=HK，
∴FH=HK=FN．
∴FN=3FH，
∵AF=FN，
∴AF=3FH．

點評 本題考查四邊形綜合題、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考常考題型．