Question

【題目】如圖，AC為⊙O的直徑，B為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD為⊙O的弦，連結(jié)BD，連結(jié)DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)BE交⊙O于點(diǎn)M．

（1）求證：直線BD是⊙O的切線；

（2）求⊙O的半徑OD的長(zhǎng)；

（3）求線段BM的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）⊙O的半徑OD的長(zhǎng)為1；（3）線段BM的長(zhǎng)為

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和求得∠ODB＝90°，按照切線的判定定理可得答案；

（2）利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半及圓的半徑相等可得答案；

（3）先由勾股定理求得BE的長(zhǎng)，再連接DM，利用有兩個(gè)角相等的三角形相似可判定△BMD∽△BDE，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得比例式，從而求得答案．

解：（1）證明：∵OA＝OD，∠BAD＝∠ABD＝30°，

∴∠BAD＝∠ADO＝30°，

∴∠DOB＝∠BAD+∠ADO＝60°，

∴∠ODB＝∠180°﹣∠DOB﹣∠ABD＝90°，

∵OD為⊙O的半徑，

∴直線BD是⊙O的切線；

（2）∵∠ODB＝90°，∠ABD＝30°，

∴OD＝OB，

∵OC＝OD，

∴BC＝OC＝1，

∴⊙O的半徑OD的長(zhǎng)為1；

（3）∵OD＝1，

∴DE＝2，BD＝，

∴BE＝

如圖，連接DM，

∵DE為⊙O的直徑，

∴∠DME＝90°，

∴∠DMB＝90°，

∵∠EDB＝90°，

∴∠EDB＝∠DME，

又∵∠DBM＝∠EBD，

∴△BMD∽△BDE，

∴

∴BM＝

∴線段BM的長(zhǎng)為