Question

【題目】如圖，△OAP是等腰直角三角形，∠OAP＝90°，點(diǎn)A在第四象限，點(diǎn)P坐標(biāo)為（8，0），拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和A、P兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式．

（2）點(diǎn)B是y軸正半軸上一點(diǎn)，連接AB，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線交拋物線于C、D兩點(diǎn)，且BC＝AB，求點(diǎn)B坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M是線段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，求△CBN面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）先根據(jù)是等腰直角三角形，和點(diǎn)P的坐標(biāo)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求得；

（2）設(shè)點(diǎn)，如圖（見解析），過(guò)點(diǎn)C作CH垂直y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AQ垂直y軸于點(diǎn)Q，易證明，可得，則點(diǎn)C坐標(biāo)為，將其代入題（1）中的拋物線函數(shù)關(guān)系式即可得；

（3）如圖，延長(zhǎng)NM交CH于點(diǎn)E，則，先通過(guò)點(diǎn)B、C求出直線BC的函數(shù)關(guān)系式，因點(diǎn)N在拋物線上，則設(shè)，則可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式列出等式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

（1）是等腰直角三角形，，點(diǎn)P坐標(biāo)為

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為

將點(diǎn)O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的函數(shù)關(guān)系式得：

，解得：

故拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：；

（2）設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CH垂直y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AQ垂直y軸于點(diǎn)Q，

又

故點(diǎn)C的坐標(biāo)為

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入題（1）的拋物線函數(shù)關(guān)系式得：

，解得：

故點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

（3）如圖，延長(zhǎng)NM交CH于點(diǎn)E，則

設(shè)直線BC的解析式為：，將點(diǎn)，點(diǎn)代入得：

解得：

則直線BC的解析式為：

因點(diǎn)N在拋物線上，設(shè)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

的面積

即

整理得：

又因點(diǎn)M是線段BC上一點(diǎn)，則

由二次函數(shù)的性質(zhì)得：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小

故當(dāng)時(shí)，取得最大值.