Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點，直線L是拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的函數(shù)關系式；
（2）求拋物線的頂點坐標；
（3）設P點是直線L上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）由于已知拋物線與x軸的交點坐標，則可設交點式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把C（0，3）代入求出a即可；
（2）把（1）中的解析式配成頂點式，即可得到拋物線頂點坐標；
（3）連結(jié)BC交l于P，如圖，利用軸對稱-最短路線問題得到此時△PAC的周長最小，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=-x+3，然后計算出自變量為1時的函數(shù)值即可得到P點坐標．

解答：解：（1）設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得a•1•（-3）=3，解得a=-1，
所以拋物線解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；
（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
所以拋物線的頂點坐標為（1，4）；
（3）連結(jié)BC交l于P，如圖，
∵點A與點B關于直線l對稱，
∴PA=PB，
∴PC+PA=CB，
∴此時△PAC的周長最小，
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把C（0，3），B（3，0）代入得

b=3 3k+b=0

，解得

k=-1 b=3

，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
當x=1時，y=-x+3=2，
∴點P的坐標為（1，2）．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．