Question

【題目】如圖，中，，為的角平分線，以為直徑的交于點，的延長線交于點，連接．

(1)求證：；

(2)求證：；

(3)若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）利用“AAS”證明出△BDC與△BDE全等，由此根據全等三角形性質進一步證明結論即可；

（2）根據圓內接四邊形的對角互補可知，據此進一步證明出，從而結合題意得出，最后即可證明結論；

（3）首先證明出，然后得知，利用勾股定理求出，之和通過證明△BCD~△AFD進一步利用相似三角形性質求解即可.

（1）證明：∵為的直徑，

∴．

∵平分，

∴

在△BDC和△BDE中，

∵

∴△BDC△BDE(AAS)，

∴；

（2）證明：由（1）知．

∵，而，

∴．

又∵

∴

∴；

（3）∵，

∴，

由（1）知，，

∵，，

∴

∴

設，，則，

在中，，

整理，得．

解得(不符題意，舍去)，，

∴，

∵為的直徑，

∴．

而

∴△BCD~△AFD，

∴，即．

∴．