Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA＝7，AB＝4，∠COA＝60°，點(diǎn)P為x軸上的一個動點(diǎn)，但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合．連接CP，D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn)，連接PD．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)∠CPD＝∠OAB，且，求這時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) 點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，）;(2) 點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，0）或（6，0）.

【解析】

（1）依題意可得∠BAQ＝∠COA，已知AB＝4，∠COA度數(shù)利用三角函數(shù)可求出BQ，AQ，OQ的值．

（2）利用相似三角形的判定證明△OCP∽△APD，根據(jù)等比性質(zhì)可求出AP，OP的值．

解：（1）作BQ⊥x軸于Q．

∵四邊形OABC是等腰梯形，

∴∠BAQ＝∠COA＝60°

在Rt△BQA中，BA＝4，

BQ＝ABsin∠BAO＝4×sin60°＝

AQ＝ABcos∠BAO＝4×cos60°＝2，

∴OQ＝OA﹣AQ＝7﹣2＝5

點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5， ）；

（2）∵∠CPA＝∠OCP+∠COP，

即∠CPD+∠DPA＝∠COP+∠OCP，

而∠CPD＝∠OAB＝∠COP＝60°，

∴∠OCP＝∠APD．

∵∠COP＝∠PAD，

∴△OCP∽△APD．

∴ ．

∴OPAP＝OCAD．

∵ ，且AB＝4，

∴BD＝ AB＝ ，

AD＝AB﹣BD＝4﹣ ＝ ．

∵AP＝OA﹣OP＝7﹣OP，

∴OP（7﹣OP）＝4×，

解得：OP＝1或6．

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，0）或（6，0）．

故答案為：(1) 點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，）;(2) 點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，0）或（6，0）.