Question

5．如圖，正方形ABCD邊長為6，菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，連接CF．
（1）求證：∠HEA=∠CGF；
（2）當(dāng)AH=DG=2時，求證：菱形EFGH為正方形；
（3）設(shè)AH=2，DG=x，△FCG的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并直接寫出x的取值范圍；
（4）求y的最小值．

Answer 1

分析 （1）連接GE，根據(jù)正方形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠AEG=∠CGE，根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠HEG=∠FGE，解答即可；
（2）證明Rt△HAE≌Rt△GDH，得到∠AHE=∠DGH，證明∠GHE=90°，根據(jù)正方形的判定定理證明；
（3）作FM⊥DC，證明Rt△AHE≌Rt△GFM，得到MF=AH=2，根據(jù)三角形的面積公式得到解析式；
（4）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減小解答即可．

解答 （1）證明：如圖1，連接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠CGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠HEA=∠CGF；
（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=∠A=90°，
∵四邊形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△HAE和Rt△GDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=DG}\\{HE=HG}\end{array}\right.$，
∴Rt△HAE≌Rt△GDH，
∴∠AHE=∠DGH，又∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH為正方形；
（3）解：作FM⊥DC，交DC的延長線于M，
在Rt△AHE和Rt△GFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠M}\\{∠AEH=∠FGM}\\{HE=FG}\end{array}\right.$，
∴Rt△AHE≌Rt△GFM，
∴MF=AH=2，
∵DG=x，
∴CG=6-x，
∴y=$\frac{1}{2}$×CG×FM=$\frac{1}{2}$×2×（6-x）=6-x（0≤x≤2$\sqrt{6}$）；
（4）∵k=-1＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴x=2$\sqrt{6}$時，y的最小值是6-2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查的是正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)解析式的求法和一次函數(shù)的性質(zhì)，正確作出輔助線、靈活運用相關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．