Question

如圖，在?ABCD中，AB⊥AC，以點A為圓心，AB為半徑的圓交BC于點E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）如果BE=4，CE=2，求DE的值．

Answer 1

考點：切線的判定,平行四邊形的性質

專題：證明題

分析：（1）根據平行四邊形的性質得AB=CD，BC=AD，AB∥CD，∠B=∠ADC，由AB⊥AC得到AC⊥CD，由AD∥BC得到∠AEB=∠DAE，而AB=AE，所以∠B=∠AEB，AE=DC，∠DAE=∠ADC，于是可證明△AED≌△DCA，得到∠AED=∠DCA=90°，則可根據切線的判定定理得到DE為⊙O的切線；
（2）作AH⊥BE，如圖，根據垂徑定理得BH=CH=

1

2

BE=2，再證明Rt△BAH∽Rt△BCA，利用相似比計算出AB=2

3

，然后在Rt△AED中利用勾股定理計算DE的長．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD，BC=AD，AB∥CD，∠B=∠ADC，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，AE=DC，
∴∠DAE=∠ADC，
在△AED和△DCA中，

AE=DC ∠DAE=∠ADC AD=DA

，
∴△AED≌△DCA（SAS），
∴∠AED=∠DCA=90°，
∴AE⊥DE，
∴DE為⊙O的切線；
（2）解：作AH⊥BE，如圖，
則BH=CH=

1

2

BE=2，
∵∠ABH=∠CBA，
∴Rt△BAH∽Rt△BCA，
∴

BA

BC

=

BH

BA

，即

BA

4+2

=

2

BA

，
∴AB=2

3

，
∴AE=2

3

，
在Rt△AED中，∵AD=BC=6，AE=2

3

，
∴DE=

AD2-AE2

=2

6

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了平行四邊形的性質、勾股定理和相似三角形的判定與性質．