Question

4．（1）如圖1，點P是?ABCD內(nèi)的一點，分別過點B、C、D作AP的垂線BE、CF、DH，垂足分別為E、F、H，猜想BE、CF、DH三者之間的關系，并證明；
（2）如圖2，若點P在?ABCD的外部，△APB的面積為18，△APD的面積為3，求△APC的面積；
（3）如圖3，在（2）的條件下，增加條件：AB=BC，∠APC=ABC=90°，設AP、BP分別于CD相交于點M、N，當DM=CN時，$\frac{CP}{PM}$=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$（請直接寫出結(jié)論）．

Answer 1

分析 （1）過C作CG⊥BE于G，延長BC交AF于Q，得到四邊形CGEF是矩形，由矩形的性質(zhì)得到EG=CF，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD=BC，AD∥BC，推出△ADH≌△BCG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）分別過點B、C、D作AP的垂線BE、CF、DH，垂足分別為E、F、H，由（1）知BE=DH+CF，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論；
（3）過B作BE⊥AP于E，連接AC，推出四邊形ABCD是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠DCA=∠CAB=45°，通過全等三角形得到AM=BN，∠AMD=∠BNC，推出A，C，P，D四點共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠DPA=∠ACD=45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CPN=∠DPM=45°，證得△BPE是等腰直角三角形，得到PB=PA=$\sqrt{2}$BE，根據(jù)三角形的面積列方程得到BE=3$\sqrt{2\sqrt{2}}$，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到$\frac{PM}{PC}=\frac{PC}{PA}$=$\frac{\frac{5}{\sqrt{\sqrt{2}}}}{6\sqrt{\sqrt{2}}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{12}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）過C作CG⊥BE于G，延長BC交AF于Q，
∵CF⊥AC，BE⊥AC，
∴四邊形CGEF是矩形，
∴EG=CF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAH=∠Q，
∵CG∥AF，
∴∠G=∠BCG，
∴∠DAH=∠BCG，
在△ADH與△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AHD=∠BGC}\\{∠DAH=∠BCG}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△BCG，
∴DH=BG，
∴BE=BG+EG=DH+CF；

（2）分別過點B、C、D作AP的垂線BE、CF、DH，垂足分別為E、F、H，
由（1）知BE=DH+CF，
∵S_△ADP=$\frac{1}{2}$AP•DH，S_△ABP=$\frac{1}{2}$AP•BE，S_△ACP=$\frac{1}{2}$AP•CF，
∴S_△ADP+S_△ACP=$\frac{1}{2}$AP（DH+CF）=$\frac{1}{2}$AP•BE=S_△ABP，
∵△APB的面積為18，△APD的面積為3，
∴S_△APC=15；

（3）過B作BE⊥AP于E，連接AC，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCA=∠CAB=45°，
在△ADM與△BCN中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠ADC=∠BCD=90°}\\{DM=CN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BCN，
∴AM=BN，∠AMD=∠BNC，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN，
∴AP=BP，
∵∠ADC=∠APC=90°，
∴A，C，P，D四點共圓，
∴∠DPA=∠ACD=45°，
在△PDM與△PCN中，$\left\{\begin{array}{l}{PM=PN}\\{∠PMD=∠PNC}\\{DM=CN}\end{array}\right.$，
∴△PDM≌△PCN，
∴∠CPN=∠DPM=45°，
∴∠APB=45°，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴PB=PA=$\sqrt{2}$BE，
∵S_△ABP=$\frac{1}{2}$AP•BE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$BE•BE=18，
∴BE=3$\sqrt{2\sqrt{2}}$，
∴AP=6$\sqrt{\sqrt{2}}$，
∵AP•PC=30，
∴PC=$\frac{5}{\sqrt{\sqrt{2}}}$，
∵∠PDC=∠PCD=∠PAC，
∴tan∠PCM=tan∠PAC=$\frac{PM}{PC}=\frac{PC}{PA}$=$\frac{\frac{5}{\sqrt{\sqrt{2}}}}{6\sqrt{\sqrt{2}}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{12}$，
∴$\frac{PC}{PM}$=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$．
故答案為：$\frac{6\sqrt{2}}{5}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵．