Question

18．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC且DE=$\frac{1}{2}$AC，連接AE交OD于點(diǎn)F，連接CE、OE．
（1）求證：OE=CD；
（2）若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC=60°，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由菱形ABCD中，DE∥AC且DE=$\frac{1}{2}$AC，易證得四邊形OCED是平行四邊形，繼而可得OE=CD即可；
（2）由菱形的對(duì)角線互相垂直，可證得四邊形OCED是矩形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC=AB，再根據(jù)勾股定理得出AE的長(zhǎng)度即可．

解答 （1）證明：四邊形ABCD是菱形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，AD=CD，
∵DE∥AC且DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴DE=OA=OC，
∴四邊形OADE、四邊形OCED都是平行四邊形，
∴OE=AD，
∴OE=CD；

（2）解：∵AC⊥BD，
∴四邊形OCED是矩形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=2，
∴在矩形OCED中，CE=OD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴在Rt△ACE中，AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用．注意證得四邊形OCED是平行四邊形，四邊形OCED是矩形是關(guān)鍵．