Question

6．如圖，在⊙O中，直徑AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，
（1）直接寫出BD的長及$\widehat{BD}$的長；
（2）求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OD、AD，根據切線的性質求出∠BAC=90°，求出AB=AC=2，由勾股定理求出BC，根據圓周角定理求出∠ADB=90°，根據等腰三角形的性質求出D為BC的中點，即可求出BD，根據弧長公式求出即可；
（2）解直角三角形求出AD=DC=AC×sin45°=$\sqrt{2}$，求出陰影部分的面積=S_△ADC，根據三角形面積公式求出即可．

解答 解：（1）連接OD、AD，
∵CA切⊙O于A，
∴∠BAC=90°，
∵∠C=45°，
∴∠B=∠C=45°，
∴AB=AC=2，由勾股定理得：BC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
連接AD，OD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴D為BC的中點，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，
∵O為AB的中點，D為BC的中點，
∴OD∥AC，OD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵∠BAC=90°，
∴$\widehat{BD}$=$\frac{90π•1}{180}$=$\frac{1}{2}π$；

（2）∵∠ADB=∠ADC=90°，∠C=45°，AC=2，
∴AD=DC=AC×sin45°=$\sqrt{2}$，
∵∠BOD=∠AOD=90°，AO=BO=OD，
∴陰影部分的面積=S_△ADC-S_弓形AD+S_弓形BD=S_△ADC=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1．

點評 本題考查了三角形的面積，弧長公式，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質的應用，能綜合運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵．