Question

【題目】如圖，在△ABC中， tan∠ABC=，∠C=45°，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，BD=DE=5，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿B-D-E-C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在BD-DE上以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，在EC上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作正方形PQMN，使點(diǎn)B、點(diǎn)N始終在PQ同側(cè)． 設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）（＞0），正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在BD-DE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用含的代數(shù)式表示線段DP的長(zhǎng)．

（2）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)，求的值．

（3）當(dāng)點(diǎn)P在DE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)時(shí)，有一點(diǎn)H從點(diǎn)D出發(fā)，在線段DE上以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿D-E-D連續(xù)做往返運(yùn)動(dòng)，直至點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也停止運(yùn)動(dòng)．連結(jié)HN，直接寫出HN與DE所夾銳角為45°時(shí)的值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)0＜≤1時(shí)，DP=；當(dāng)1＜≤2時(shí)，DP=；（2）；（3）；（4）滿足條件的t的值為：0.1或或.

【解析】

（1）分兩種情形：當(dāng)0＜t≤1時(shí)，當(dāng)1＜t≤2時(shí)，分別求解即可．
（2）根據(jù)DP=DM，構(gòu)建方程求解即可．
（3）分三種情形：①如圖2-1中，當(dāng)1≤t≤時(shí)，重疊部分是四邊形BQPD．②如圖2-2中，當(dāng)＜t≤時(shí)，重疊部分是五邊形MQPDK．③如圖2-3，當(dāng)＜t≤2時(shí)，重疊部分是正方形PQMN，分別求解即可．

（4）分三種情形：點(diǎn)P在線段BD上一種情形，點(diǎn)P在線段EC上兩種情形，分別畫出圖形，構(gòu)建方程求解即可．

解：（1）根據(jù)題意，∵BD=DE=5，

∴點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，所用的時(shí)間為：，

點(diǎn)P從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E，所用的時(shí)間為：；

當(dāng)0＜≤1時(shí)，點(diǎn)P在BD上運(yùn)動(dòng)，DP=；

當(dāng)1＜≤2時(shí)，點(diǎn)P在DE上運(yùn)動(dòng)，DP=；

（2）如圖1中，

在Rt△BDM中，

∵∠DMB=90°，tanB=，BD=5，

∴DM=4，BM=3，

∵DP=DM，

∴=4，

解得：t＝．

（3）如圖，當(dāng)1≤≤時(shí)，重疊部分是四邊形BQPD，則

S=；

如圖，當(dāng)＜≤時(shí)，重疊部分是五邊形MQPDK，

S=；

如圖，當(dāng)＜≤2時(shí)，重疊部分是正方形PQMN，S=；

綜上所述，；

（4）如圖，作HK⊥NP交NP的延長(zhǎng)線于K．

由題意∠HNK=45°，

∵HK⊥NK，

∴△NHK是等腰直角三角形，

∴NK=HK，

可得4t+3-3t+5t=4-4t，

解得：t=0.1；

如圖，當(dāng)2＜t＜3時(shí)，滿足EH=PN，條件成立．

可得：，

解得：t＝；

如圖3-2中，當(dāng)t＞3時(shí)，滿足EH=PN，條件成立．

可得：，

解得：．

綜上所述，滿足條件的t的值為0.1或或．