Question

7．有一列按一定順序和規(guī)律排列的數(shù)：
第一個(gè)數(shù)是$\frac{1}{1×2}$；
第二個(gè)數(shù)是$\frac{1}{2×3}$；
第三個(gè)數(shù)是$\frac{1}{3×4}$；
…
對(duì)任何正整數(shù)n，第n個(gè)數(shù)與第（n+1）個(gè)數(shù)的和等于$\frac{2}{n×（n+2）}$．
（1）經(jīng)過探究，我們發(fā)現(xiàn)：$\frac{1}{1×2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，
設(shè)這列數(shù)的第5個(gè)數(shù)為a，那么$a＞\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$，$a=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$，$a＜\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$，哪個(gè)正確？
請(qǐng)你直接寫出正確的結(jié)論；
（2）請(qǐng)你觀察第1個(gè)數(shù)、第2個(gè)數(shù)、第3個(gè)數(shù)，猜想這列數(shù)的第n個(gè)數(shù)（即用正整數(shù)n表示第n數(shù)），并且證明你的猜想滿足“第n個(gè)數(shù)與第（n+1）個(gè)數(shù)的和等于$\frac{2}{n×（n+2）}$”；
（3）設(shè)M表示$\frac{1}{1^2}$，$\frac{1}{2^2}$，$\frac{1}{3^2}$，…，$\frac{1}{{{{2016}^2}}}$，這2016個(gè)數(shù)的和，即$M=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…\frac{1}{{{{2016}^2}}}$，
求證：$\frac{2016}{2017}＜M＜\frac{4031}{2016}$．

Answer 1

分析 （1）由已知規(guī)律可得；
（2）先根據(jù)已知規(guī)律寫出第n、n+1個(gè)數(shù)，再根據(jù)分式的運(yùn)算化簡(jiǎn)可得；
（3）將每個(gè)分式根據(jù)$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，展開后再全部相加可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意知第5個(gè)數(shù)a=$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$；

（2）∵第n個(gè)數(shù)為$\frac{1}{n（n+1）}$，第（n+1）個(gè)數(shù)為$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$，
∴$\frac{1}{n（n+1）}$+$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{n+1}$×$\frac{n+2+n}{n（n+2）}$
=$\frac{1}{n+1}$×$\frac{2（n+1）}{n（n+2）}$
=$\frac{2}{n（n+2）}$，
即第n個(gè)數(shù)與第（n+1）個(gè)數(shù)的和等于$\frac{2}{n×（n+2）}$；

（3）∵1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1×2}$＜$\frac{1}{{1}^{2}}$=1，
$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2×3}$＜$\frac{1}{{2}^{2}}$＜$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{3×4}$＜$\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
…
$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=$\frac{1}{2015×2016}$＜$\frac{1}{201{5}^{2}}$＜$\frac{1}{2014×2015}$=$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$，
$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=$\frac{1}{2016×2017}$＜$\frac{1}{201{6}^{2}}$＜$\frac{1}{2015×2016}$=$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$，
∴1-$\frac{1}{2017}$＜$\frac{1}{1^2}$+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{3^2}$+…+$\frac{1}{201{5}^{2}}$+$\frac{1}{{{{2016}^2}}}$＜2-$\frac{1}{2016}$，
即$\frac{2016}{2017}$＜$\frac{1}{1^2}$+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{3^2}$+…+$\frac{1}{201{5}^{2}}$+$\frac{1}{{{{2016}^2}}}$＜$\frac{4031}{2016}$，
∴$\frac{2016}{2017}＜M＜\frac{4031}{2016}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分式的混合運(yùn)算及數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)已知規(guī)律$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$得到$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$是解題的關(guān)鍵．