Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）作∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)D；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若BD＝5，CD＝3，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)6.

【解析】

（1）先以A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC，AB運(yùn)用H、F；再分別以H、F為圓心，大于HF長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M，最后畫(huà)射線AM交CB于D；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，先證明△ACD≌△AED得到AC=AE，CD=DE=3，再由勾股定理得求的BE長(zhǎng)，然后在Rt△ABC中，設(shè)AC=x，則AB=AE+BE=x+4，最后再次運(yùn)用勾股定理求解即可.

解：（1）如圖：

（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E.則∠AED=∠BED=90°

∵AD平分∠BAC

∴CD=DE

在RtACD和RtAED中

CD=DE，AD=AD

∴ △CDE≌△AED（HL）

∴AC=AE，CD=DE=3

在Rt△BDE中，

由勾股定理得：DE2+BE2=BD2

∴BE2=BD2-DE2=52-32=16.

∴BE=4

在Rt△ABC中，設(shè)AC=x，則AB=AE+BE=x+4.

由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即x2+82=（x+4）2

解得：x=6,即AC=6.