Question

9．某公司經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該公司生產(chǎn)的某商品在第x天的銷(xiāo)售單價(jià)為（x+20）元/件（1≤x≤50），且該商品每天的銷(xiāo)量滿足關(guān)系式y(tǒng)=200-4x．已知該商品第10天的售價(jià)按8折出售，仍然可以獲得20%的利潤(rùn)．
（1）求公司生產(chǎn)該商品每件的成本為多少元？
（2）問(wèn)銷(xiāo)售該商品第幾天時(shí)，每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
（3）該公司每天還需要支付人工、水電和房租等其它費(fèi)用共計(jì)a元，若公司要求每天的最大利潤(rùn)不低于2200元，且保證至少有46天盈利，則a的取值范圍是0＜a≤300（直接寫(xiě)出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)該公司生產(chǎn)每件商品的成本為a元，根據(jù)：實(shí)際售價(jià)-成本=利潤(rùn)，列出方程，解方程可得；
（2）根據(jù)：每天利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×每天銷(xiāo)售量列出函數(shù)關(guān)系式，配方成頂點(diǎn)式可得函數(shù)的最值情況；
（3）根據(jù)（2）中每天利潤(rùn)減去每天開(kāi)支a元列出函數(shù)關(guān)系式P=-4（x-25）²+2500-a，根據(jù)每天的最大利潤(rùn)不低于2200元可得關(guān)于a的不等式，解不等式可得a的取值范圍，再由至少有46天盈利可知-4x²+200x-a=0的兩根x₁、x₂間距離x₁-x₂≥46，根據(jù)韋達(dá)定理可得關(guān)于a的不等式，求得a的范圍，綜合上述情況確定a的范圍．．

解答 解：（1）設(shè)該公司生產(chǎn)每件商品的成本為a元，根據(jù)題意，
得：0.8×（10+20）-a=0.2a，
解得：a=20，
故該公司生產(chǎn)每件商品的成本為20元；

（2）設(shè)第x天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為W，
則：W=（x+20-20）（-4x+200）=-4x²+200x=-4（x-25）²+2500，
∴當(dāng)x=25時(shí)，W取得最大值，最大值為2500元，
故問(wèn)銷(xiāo)售該商品第25天時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2500元；

（3）記公司每天控制人工、水電和房租支出共計(jì)a元后利潤(rùn)為P，
則P=-4（x-25）²+2500-a，
根據(jù)題意：2500-a≥2200，
解得：a≤300，
又∵至少有46天的盈利，
∴-4x²+200x-a=0的兩根x₁、x₂間距離x₁-x₂≥46，
∴（x₁-x₂）²≥46²，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂≥46²，
∵x₁+x₂=50，x₁x₂=$\frac{a}{4}$，
∴50²-4×$\frac{a}{4}$≥46²，解得：a≤384，
綜上，0＜a≤300，
故答案為：0＜a≤300．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用能力，明確不等關(guān)系并據(jù)此列出方程或函數(shù)關(guān)系式是解題基礎(chǔ)，根據(jù)題意挖掘出不等關(guān)系求a的范圍是關(guān)鍵．