Question

【題目】如圖1，拋物線()與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線解析式和點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）在軸上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)位于第一象限圖象上，連接，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接．

①點(diǎn)是線段上一點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，則兩條線段之和的最小值為　　　　；

②將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)()，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在的邊所在直線上時(shí)，則此時(shí)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為　　　　．

Answer 1

【答案】（1），B（0，2）；（2）4，M（2，3）；（3）①；②或或

【解析】

（1）將代入，可求出的值，將的值代入即得到拋物線解析式，令，求，得點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)點(diǎn)，將表示成的二次函數(shù)，配方成頂點(diǎn)式即可求得面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）第①題求的最小值利用對(duì)稱進(jìn)行轉(zhuǎn)化，應(yīng)用“兩點(diǎn)之間線段最短”及“垂線段最短”可以得到“的最小值”即為點(diǎn)到直線的距離；第②題在繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，按照依次落在直線、、上分類討論．

解：（1）將代入，得，

解得，

拋物線解析式為，

令，得，

；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，，

設(shè)直線的解析式為，將，分別代入得，

解得，

直線的解析式為，

，

，

，，

當(dāng)時(shí)，的最大值，

此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）①如圖2，連接、、，則，只有當(dāng)、、三點(diǎn)在同一直線上，且時(shí)，的值最小，

過(guò)點(diǎn)作于，交軸于，，，，

、關(guān)于軸對(duì)稱

，，

，即的最小值，

故答案為．

②如圖3，點(diǎn)落在直線上，

在拋物線中，令，解得，，

，，，

，

由旋轉(zhuǎn)知，，，，，

，

．

設(shè)交軸于，過(guò)作軸于，

，

△，

，，即，

，解得

△

，即，

，

，

，即，

，

；

如圖4，點(diǎn)落在直線上，，

點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在軸上，由旋轉(zhuǎn)知：△，

，

；

如圖5，點(diǎn)落在直線上，過(guò)作軸于，作軸于，作于，

，

，，

，，

在△ADQ和△中，

，

∴△ADQ≌△（AAS），

，

，

，

，

故答案為：或或.