Question

【題目】如圖，A、P、B、C是⊙O上的四個點，∠APC＝∠CPB＝60°．

（1）求證：PA+PB＝PC；

（2）若BC＝，點P是劣弧AB上一動點（異于A、B），PA、PB是關于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的兩根，求m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）m的最大值為4．

【解析】

（1）在PC上截取PD＝AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP＝CD，即可證得；

（2）根據(jù)一元二次方程的根解答即可．

證明：（1）在PC上截取PD＝AP，如圖，

又∵∠APC＝60°，

∴△APD是等邊三角形，

∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．

又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，

∴∠ADC＝∠APB，

在△APB和△ADC中，

，

∴△APB≌△ADC（AAS），

∴BP＝CD，

又∵PD＝AP，

∴CP＝BP+AP

（2）由（1）可知PA+PB＝PC，

∵PA、PB是方程的兩根，

∴PA+PB＝m，

要使m有最大值，則PA+PB最大，即PC為⊙O的直徑，連BO并延長交⊙O于點M，連接CM，

則∠BCM＝90°，

∴BMC＝∠BPC＝60°，

∵BC＝2，

∴BG＝4，

∴m的最大值為4．