Question

1．已知直角三角形的兩條直角邊a、b（a≤b）及斜邊c均為整數(shù)，且其內(nèi)切圓的半徑r=3．則這樣的直角三角形有（　�。﹤�(gè)．

• A． 0
• B． 1
• C． 3
• D． 無數(shù)個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得出a-3+b-3=c，再由勾股定理得出a²+b²=c²，化簡(jiǎn)整理即可得出a，b的值，再求得c的對(duì)應(yīng)值．

解答 解：∵三角形內(nèi)切圓的半徑r=3，
∴a-r+b-r=c，
∴a+b-c=2r=6，
∵直角三角形的兩條直角邊a、b（a≤b）及斜邊c均為整數(shù)，
∴a²+b²=c²，
∴a²+b²=（a+b-6）²，
∴（a-6）（b-6）=18，
∵a、b、c均為正整數(shù)，且a≤b，
∴可得$\left\{\begin{array}{l}{a-6=1}\\{b-6=18}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a-6=2}\\{b-6=9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a-6=3}\\{b-6=6}\end{array}\right.$，
可解出$\left\{\begin{array}{l}{a=7}\\{b=24}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=15}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=9}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴對(duì)應(yīng)的c分別為25，17，15，
∴滿足條件的直角三角形有3個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，以及非一次不定方程及勾股定理，解答此題的關(guān)鍵是先利用勾股定理把原式化為兩個(gè)因式積的形式，再根據(jù)a，b均為正整數(shù)進(jìn)行解答．