Question

6．如圖，在直三棱柱ABC-A₁BC的底面△ABC中，CA=CB=2，∠BCA=90°，棱AA₁=4，M．N分別是A₁B₁，A₁A的中點．
（1）求證：A₁B⊥C₁M；
（2）設(shè)直線BN與平面ABC₁所成的角為θ，求sinθ．

Answer 1

分析 （1）以C為原點建立空間坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{{A}_{1}B}$和$\overrightarrow{{C}_{1}M}$的坐標(biāo)，通過計算$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{{C}_{1}M}$=0得出A₁B⊥C₁M；
（2）求出$\overrightarrow{BN}$和平面ABC₁的法向量$\overrightarrow{n}$，計算|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BN}$＞|即為所求．

解答 證明：（1）以C為原點，以CA，CB，CC₁為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則A₁（2，0，4），B（0，2，0），C₁（0，0，4），M（1，1，4）．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-2，2，-4），$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=（1，1，0）．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{{C}_{1}M}$=-2×1+2×1+（-4）×0=0．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}⊥\overrightarrow{{C}_{1}M}$，即A₁B⊥C₁M．
（2）∵N（2，0，2），A（2，0，0）．
∴$\overrightarrow{BN}$=（2，-2，2），$\overrightarrow{AB}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，0，4）．
設(shè)平面ABC₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y=0}\\{-2x+4z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，2，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BN}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BN}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BN}|}$=$\frac{2}{3•2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
∴sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題考查了空間向量的應(yīng)用，線面角的計算，屬于中檔題．