Question

1．函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²+ax（x∈R），g（x）=e^x+$\frac{3}{2}$x²．
（Ⅰ）討論f（x）的極值點的個數(shù)；
（Ⅱ）若對于?x＞0，總有f（x）≤g（x）．（i）求實數(shù)a的范圍；（ii）求證：對于?x＞0，不等式e^x+x²-（e+1）x+$\frac{e}{x}$＞2成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）【解法一】：求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用判別式△=a²-4，判斷f′（x）是否大于0，
從而得出f（x）的單調(diào)性與極值點情況；
【解法二】：求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），根據(jù)x＞0求出f'（x）的值域，
討論a的值得出f′（x）的正負(fù)情況，判斷f（x）的單調(diào)性和極值點問題；
（Ⅱ）（ i）f（x）≤g（x）等價于e^x-lnx+x²≥ax，
由x＞0，利用分離常數(shù)法求出a的表達(dá)式，再構(gòu)造函數(shù)求最值即可證明；
（ ii）由（ i）結(jié)論，a=e+1時有f（x）≤g（x），
得出不等式，再進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，證明轉(zhuǎn)化的命題成立即可．

解答 解：（Ⅰ）【解法一】：由題意得$f'（x）=x+\frac{1}{x}+a=\frac{{{x^2}+ax+1}}{x}（x＞0）$，令△=a²-4，
（1）當(dāng)△=a²-4≤0，即-2≤a≤2時，x²+ax+1≥0對x＞0恒成立；
即$f'（x）=\frac{{{x^2}+ax+1}}{x}≥0$對x＞0恒成立，
此時f（x）沒有極值點；…（2分）
（2）當(dāng)△=a²-4＞0，即a＜-2或a＞2，
①a＜-2時，設(shè)方程x²+ax+1=0兩個不同實根為x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，
則x₁+x₂=-a＞0，x₁x₂=1＞0，故x₂＞x₁＞0，
∴x＜x₁或x＞x₂時f（x）＞0；
在x₁＜x＜x₂時f（x）＜0，
故x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個極值點；
②當(dāng)a=-2時，△=0，函數(shù)f（x）有一個極值點；
③a＞2時，設(shè)方程x²+ax+1=0兩個不同實根為x₁，x₂，
則x₁+x₂=-a＜0，x₁x₂=1＞0，故x₂＜0，x₁＜0，
∴x＞0時，f（x）＞0；
故函數(shù)f（x）沒有極值點；…（4分）
綜上，a＜-2時，函數(shù)f（x）有兩個極值點；
a=-2時，函數(shù)f（x）有一個極值點；
a＞-2時，函數(shù)f（x）沒有極值點；…（5分）
【解法二】：由題意得$f'（x）=x+\frac{1}{x}+a$，…（1分）
∵x＞0，∴f'（x）∈[a+2，+∞），
①當(dāng)a+2≥0，即a∈[-2，+∞）時，f′（x）≥0對?x＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）沒有極值點；   …（3分）
②當(dāng)a+2＜0，即a∈（-∞，-2）時，方程x²+ax+1=0有兩個不等正數(shù)解x₁，x₂，
$f'（x）=x+\frac{1}{x}+a=\frac{{{x^2}+ax+1}}{x}=\frac{{（x-{x_1}）（x-{x_2}）}}{x}（x＞0）$
不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，則當(dāng)x∈（0，x₁）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
x∈（x₁，x₂）時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
x∈（x₂，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
所以x₁，x₂分別為f（x）極大值點和極小值點，f（x）有兩個極值點．
綜上所述，當(dāng)a∈（-2，+∞）時，f（x）沒有極值點；
當(dāng)a=-2時，函數(shù)f（x）有一個極值點；
當(dāng)a∈（-∞，-2）時，f（x）有兩個極值點；…（5分）
（Ⅱ）（ i）f（x）≤g（x）等價于e^x-lnx+x²≥ax，
由x＞0，即$a≤\frac{{{e^x}+{x^2}-lnx}}{x}$對于?x＞0恒成立，
設(shè)$φ（x）=\frac{{{e^x}+{x^2}-lnx}}{x}（x＞0）$，
$φ'（x）=\frac{{（{e^x}+2x-\frac{1}{x}）x-（{e^x}+{x^2}-lnx）}}{x^2}=\frac{{{e^x}（x-1）+lnx+（x+1）（x-1）}}{x^2}$，
∵x＞0，∴x∈（0，1）時，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，
x∈（1，+∞）時，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，
∴φ（x）≥φ（1）=e+1，∴a≤e+1；    …（9分）
（ ii）由（ i）知，當(dāng)a=e+1時有f（x）≤g（x），
即：${e^x}+\frac{3}{2}{x^2}≥lnx+\frac{1}{2}{x^2}+（e+1）x$，
等價于e^x+x²-（e+1）x≥lnx…①當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，…（10分）
以下證明：$lnx+\frac{e}{x}≥2$，
設(shè)$θ（x）=lnx+\frac{e}{x}$，則$θ'（x）=\frac{1}{x}-\frac{e}{x^2}=\frac{x-e}{x^2}$，
∴當(dāng)x∈（0，e）時θ'（x）＜0，θ（x）單調(diào)遞減，
x∈（e，+∞）時θ'（x）＞0，θ（x）單調(diào)遞增，
∴θ（x）≥θ（e）=2，
∴$lnx+\frac{e}{x}≥2$，…②當(dāng)且僅當(dāng)x=e時取等號；
由于①②等號不同時成立，故有${e^x}+{x^2}-（e+1）x+\frac{e}{x}＞2$．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)最值與不等式恒成立問題，是綜合性問題．